PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do IME 2022

Prova objetiva · Física

Esquema de uma esfera de massa $m$ e carga $q$, ligada por um cabo de comprimento $L$ a um eixo vertical. O cabo forma um ângulo $\theta$ com o eixo. Uma elipse tracejada representa a trajetória circular horizontal da esfera em torno do eixo, e uma seta curva indica a rotação com velocidade angular $\omega$. O vetor $\vec{g}$ aponta verticalmente para baixo, e três setas do campo elétrico $\vec{E}$ apontam verticalmente para cima. O eixo está fixado a uma base horizontal.

A figura mostra uma pequena esfera carregada, interligada por um cabo de comprimento L, inextensível e de massa desprezível, que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular \omega. O movimento da esfera ocorre numa região submetida a um campo elétrico uniforme \vec{E}, conforme indicado na figura.

Dados:

• massa da esfera: m = 50\ \text{g};
• carga elétrica da esfera: q = -10\ \text{C};
• intensidade do campo elétrico: |\vec{E}| = 0{,}07\ \text{N/C};
• velocidade angular do eixo: \omega = 120\ \text{rpm};
• comprimento do cabo: L = 30\ \text{cm};
• aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2; e
• \pi^2 \approx 10.

Observação:

• a espessura do eixo vertical é desprezível.

O ângulo \theta formado entre o cabo e o eixo é aproximadamente:

  1. A
    75^\circ
  2. B
    60^\circ
  3. C
    45^\circ
  4. D
    30^\circ
  5. E
    15^\circ
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Resolução comentada

Como a carga é negativa e o campo aponta para cima, a força elétrica aponta para baixo, com módulo |q|E = 10\cdot 0{,}07 = 0{,}7\ \text{N}. Ela se soma ao peso: P = mg = 0{,}05\cdot 10 = 0{,}5\ \text{N}. A força vertical total para baixo é F = 0{,}5 + 0{,}7 = 1{,}2\ \text{N}, o que equivale a uma gravidade efetiva g' = 1{,}2/0{,}05 = 24\ \text{m/s}^2.

A esfera descreve um círculo horizontal de raio R = L\,\sen\theta. Forças sobre ela: tração T ao longo do cabo e a força vertical F.

  1. Vertical: T\cos\theta = F.
  2. Horizontal (resultante centrípeta): T\,\sen\theta = m\omega^2 L\,\sen\theta, logo T = m\omega^2 L.

Conversão: \omega = 120\ \text{rpm} = 2\ \text{Hz}, então \omega = 4\pi\ \text{rad/s} e \omega^2 = 16\pi^2 \approx 160\ \text{rad}^2/\text{s}^2.

Com L = 0{,}3\ \text{m}: T = 0{,}05\cdot 160\cdot 0{,}3 = 2{,}4\ \text{N}.

Substituindo na vertical: \cos\theta = \dfrac{1{,}2}{2{,}4} = 0{,}5, portanto \theta = 60^\circ.

Alternativa B.

Pegadinha: Tratar a força elétrica como para cima (esquecendo que a carga é negativa) daria força vertical de 0,5 − 0,7 < 0, absurdo; o sinal da carga inverte o sentido da força.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de erro na conversão de rpm ou no cálculo de T, dando cosseno muito pequeno.
  • CCorresponderia a cos θ ≈ 0,7, que não sai das contas; ignora a força elétrica ou erra T.
  • DCorresponderia a cos θ ≈ 0,87; não decorre de nenhuma combinação correta das forças.
  • EDaria cos θ ≈ 0,97, valor incompatível com T = 2,4 N e força vertical de 1,2 N.

Assuntos: movimento circular, força elétrica, dinâmica do pêndulo cônico.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗