Questão 29 do IME 2021

A velocidade de escape vem da conservação de energia: \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R}, logo v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}.

1. Condição do enunciado: v_X = 2v_T, então \frac{M_X}{R_X}=4\,\frac{M_T}{R_T}.
2. Como M_X=4M_T, temos \frac{4M_T}{R_X}=\frac{4M_T}{R_T}\cdot 1, ou seja, R_X = R_T.
3. Densidade de uma esfera: \rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}.
4. Razão: \frac{\rho_X}{\rho_T}=\frac{M_X}{M_T}\cdot\frac{R_T^3}{R_X^3}=4\cdot 1=4.

Conferindo o passo 2: v_X^2=4v_T^2 dá \frac{M_X}{R_X}=4\frac{M_T}{R_T}. Com M_X=4M_T: \frac{4M_T}{R_X}=\frac{4M_T}{R_T}, portanto R_X=R_T. Está correto.

O planeta X tem o mesmo raio da Terra e quatro vezes a massa, então é quatro vezes mais denso.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem associa o fator 2 da velocidade de escape diretamente à densidade, sem elevar ao quadrado e achar o raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AInverte a razão, calculando \rho_T/\rho_X.
• BValor sem base na relação entre massa, raio e velocidade de escape.
• CSupõe que a densidade não muda, ignorando que o raio é igual e a massa quadruplica.
• DUsa a razão das velocidades (2) como se fosse a razão das densidades.

Assuntos: velocidade de escape, gravitação, densidade.

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