PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 do IME 2021

Prova objetiva · Física

Diagrama da trajetória de uma partícula no plano xy. O eixo x é horizontal para a direita e o eixo y é vertical para cima, com origem indicada por 0. A partícula de massa $m$ é lançada da origem com velocidade $\vec{v}_0$, formando um ângulo $\alpha$ com o eixo x. A trajetória curva sobe para a direita até um ponto anterior à altura máxima, onde a velocidade $\vec{v}$ é indicada por uma seta tangente à trajetória. Uma linha tracejada vertical projeta esse ponto sobre a posição $x_1$ no eixo x. Uma seta vertical para cima indica o campo magnético $\vec{B}$.

Uma partícula de massa m e carga q positiva é lançada obliquamente com velocidade v_0 e ângulo \alpha com a horizontal, conforme a figura. Em certo instante t_1, antes de alcançar a altura máxima de sua trajetória, quando está a uma distância horizontal x_1 do ponto de lançamento, a partícula é submetida a um campo magnético de intensidade B, na direção vertical. Considerando g a aceleração da gravidade local, a menor intensidade B do campo magnético para que a partícula atinja o solo na posição (x_1, 0) é:

  1. A
    \dfrac{2\pi m}{q\left(\dfrac{2v_0\sen(\alpha)}{g}-t_1\right)}
  2. B
    \dfrac{\pi m}{q\left(\dfrac{2v_0\sen(\alpha)}{g}-t_1\right)}
  3. C
    \dfrac{2\pi m}{q\left(\dfrac{v_0\sen(\alpha)}{g}-t_1\right)}
  4. D
    \dfrac{4\pi m}{q\left(\dfrac{2v_0\sen(\alpha)}{g}-t_1\right)}
  5. E
    \dfrac{\pi m}{q\left(\dfrac{v_0\sen(\alpha)}{2g}-t_1\right)}
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Resolução comentada

O campo é vertical, então a força magnética só age na componente horizontal da velocidade. A componente vertical continua em queda livre, sem ser afetada pelo campo.

No instante t_1 a partícula está em x_1, com velocidade horizontal v_x=v_0\cos\alpha. A partir daí, a projeção horizontal do movimento é uma circunferência de período T=\dfrac{2\pi m}{qB}, percorrida com velocidade horizontal constante v_0\cos\alpha.

A partícula deve cair em (x_1,0), isto é, na mesma posição horizontal de t_1. Isso só acontece se, no tempo restante de voo, ela der um número inteiro de voltas na circunferência horizontal.

  1. Tempo total de voo (a vertical não muda): t_{voo}=\dfrac{2v_0\sen\alpha}{g}.
  2. Tempo com o campo ligado: \Delta t=\dfrac{2v_0\sen\alpha}{g}-t_1.
  3. Condição: \Delta t=nT=n\dfrac{2\pi m}{qB}, com n=1,2,3,\dots
  4. Então B=\dfrac{2\pi m\,n}{q\,\Delta t}.

A menor intensidade corresponde a n=1:

B=\frac{2\pi m}{q\left(\dfrac{2v_0\sen\alpha}{g}-t_1\right)}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana ao usar meia volta; a partícula só retorna à mesma posição horizontal x_1 após volta completa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa meio período, o que levaria a partícula ao lado oposto da circunferência, e não de volta a x_1.
  • Cusa o tempo de subida v_0\sen\alpha/g em vez do tempo total de voo.
  • Dusa duas voltas (n=2), o que dá um B maior, não o menor.
  • Eusa meio período e um tempo de voo incorreto.

Assuntos: força magnética, movimento circular, lançamento oblíquo.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗