Questão 1 do IME 2021

Para achar o coeficiente de x^3 no produto, escolhemos um termo de cada fatore e multiplicamos, de modo que os expoentes somem 3.

Primeiro fator. Pelo binômio de Newton, (1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4.

Segundo fator. O termo geral é \binom{5}{k}\,2^{5-k}(-x^2)^k. Só aparecem potências pares de x:

• k=0: 32
• k=1: 5\cdot 16\cdot(-x^2) = -80x^2
• k=2: 10\cdot 8\,x^4 = 80x^4, que já passa de x^3.

Como o segundo fator só tem expoentes 0, 2, 4,\dots, os pares que somam 3 são:

1. x^3 do primeiro fator com o termo constante do segundo: 4\cdot 32 = 128.
2. x^1 do primeiro fator com x^2 do segundo: 4\cdot(-80) = -320.

Somando as contribuições:

O coeficiente de x^3 é -192. A expressão "soma dos coeficientes" se refere a somar essas duas contribuições.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa só o produto 4\cdot(-80)=-320 e esquece o termo 4\cdot 32=128.
• BErro de conta ao combinar os termos; não corresponde a nenhuma combinação correta de 128 e -320.
• DConsidera só o termo x^3\cdot constante (4\cdot 32=128) e ignora o termo com -80x^2.
• ETroca o sinal de -320, ignorando o sinal negativo de -x^2.

Assuntos: binômio de Newton, coeficiente de termo no produto de polinômios.

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