PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 do IME 2021

Prova objetiva · Física

Quadrado com vértices A no canto inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. O centro está indicado por 0, com o eixo x orientado para a direita e o eixo y para cima. Linhas tracejadas horizontais e verticais passam pelo centro e ligam os pontos médios dos lados opostos.

Quatro partículas, denominadas A, B, C e D, partem simultaneamente dos vértices de um quadrado de lado unitário. Todas as partículas apresentam velocidades escalares iguais durante suas trajetórias. A partícula A persegue a partícula B, de tal forma que o seu vetor velocidade está sempre na direção e sentido de A para B. O mesmo ocorre entre as partículas B e C, C e D e, finalmente, entre D e A. Tomando o centro do quadrado como origem do sistema de coordenadas, a tangente do ângulo entre vetor unitário do sentido positivo do eixo x e o vetor que une o ponto A ao ponto B, quando A se encontra em um ponto arbitrário (x,y) da sua trajetória, é dada por:

  1. A
    \dfrac{x-y}{2x-2y+1}
  2. B
    -\dfrac{1+x+y}{x+y}
  3. C
    -\dfrac{x-y}{x+y}
  4. D
    \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}
  5. E
    \dfrac{1+x+y}{1-x+y}
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Resolução comentada

Pela simetria, as quatro partículas formam sempre um quadrado, que gira e encolhe em torno do centro O. Se A está em (x,y), B é A girado de 90^\circ no sentido anti-horário, pois na posição inicial A está em (-\tfrac12,-\tfrac12) e B em (\tfrac12,-\tfrac12).

A rotação de +90^\circ leva (x,y) em (-y,x). Logo:

  1. B=(-y,\,x).
  2. O vetor de A para B é \vec{AB}=(-y-x,\;x-y).
  3. A tangente do ângulo com o eixo x é a razão entre a componente y e a componente x:
\tg\theta=\frac{x-y}{-(x+y)}=-\frac{x-y}{x+y}

Verificação no início: A =(-\tfrac12,-\tfrac12) dá x-y=0, então \tg\theta=0, e A realmente anda na horizontal, para B. A fórmula confere.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa uma combinação com denominador 2x-2y+1 que não vem da rotação de 90° do vetor posição; no início daria \tg\theta=0 mas falha nos demais pontos.
  • BExpressão com termo constante 1 sem origem na geometria; no ponto inicial não dá zero.
  • DNão corresponde às componentes do vetor AB; no ponto inicial resulta 0 por coincidência, mas não segue de (-y-x,\,x-y).
  • EMistura termos constantes que surgiriam só se B fosse tomado com lado fixo; ignora que o quadrado gira e encolhe.

Assuntos: cinemática vetorial, rotação de vetores, curva de perseguição.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗