Questão 26 do IME 2020

Question

Foguete em aceleração com um pêndulo simples em seu interior

Um foguete desloca-se com aceleração constante a, que forma um ângulo \alpha com a vertical, como mostra a figura, em uma região cujo campo gravitacional local é g. No interior do foguete há um pêndulo simples de comprimento L. Na condição de equilíbrio, o período \tau do pêndulo para oscilações de pequenas amplitudes é:

A
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+2ag\sen\alpha}}}
B
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2-2ag\cos\alpha}}}
C
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2-ag\sen\alpha}}}
D
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+ag\cos\alpha}}}
E
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+2ag\cos\alpha}}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2020

Prova objetiva · Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Foguete em aceleração com um pêndulo simples em seu interior

Um foguete desloca-se com aceleração constante a, que forma um ângulo \alpha com a vertical, como mostra a figura, em uma região cujo campo gravitacional local é g. No interior do foguete há um pêndulo simples de comprimento L. Na condição de equilíbrio, o período \tau do pêndulo para oscilações de pequenas amplitudes é:

A
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+2ag\sen\alpha}}}
B
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2-2ag\cos\alpha}}}
C
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2-ag\sen\alpha}}}
D
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+ag\cos\alpha}}}
E
2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+2ag\cos\alpha}}}

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Resolução comentada

Dentro do foguete acelerado, o pêndulo "sente" uma gravidade efetiva: \vec g_{ef}=\vec g-\vec a. O período é \tau=2\pi\sqrt{L/g_{ef}}, então basta achar o módulo de \vec g_{ef}.

A aceleração \vec a forma o ângulo \alpha com a vertical, apontando para cima (na figura, a vertical tracejada aponta para cima e \vec a está inclinada em \alpha em relação a ela).
A gravidade \vec g aponta para baixo. Logo, -\vec a aponta para baixo e inclinada, e o ângulo entre \vec g e -\vec a é \alpha.
Somando \vec g e -\vec a pela lei dos cossenos, com ângulo \alpha entre eles:

g_{ef}^2=g^2+a^2+2ag\cos\alpha

(Conferindo: se \alpha=0, o foguete sobe na vertical e g_{ef}=g+a, o que bate.)

Substituindo no período:

\tau=2\pi\sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2+2ag\cos\alpha}}}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa seno do ângulo, mas o ângulo entre \vec g e -\vec a é medido com a vertical, então o termo cruzado leva cosseno.
Bsinal negativo no termo cruzado, o que corresponde a subtrair vetores com \vec a para baixo, não -\vec a.
Cseno e falta o fator 2 no termo cruzado.
Dfalta o fator 2 no termo cruzado da lei dos cossenos.

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Leis de Newton e aplicações.

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Questão 26 no caderno Prova objetiva do IME 2020

Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗