Questão 27 do IME 2020

Question

Diagrama no plano $xy$, com o eixo $x$ horizontal e o eixo $y$ vertical. A trajetória curva do feixe, identificada por “feixe”, desce da esquerda até a origem $(0, 0)$, onde tangencia o eixo $x$, e sobe à direita. Setas sobre a curva indicam o sentido de propagação da esquerda para a direita.

Um feixe de luz hipotético, mostrado na figura acima, propaga-se ao longo do plano xy em um meio não homogêneo, cujo índice de refração é função da coordenada y (n = n(y)). Considerando que o feixe tangencia o eixo x no ponto (0, 0), onde n(0) = n_o. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é c, o valor máximo absoluto possível da componente y para a velocidade do feixe passível de ser atingida é:

A
\dfrac{c}{2n_o^2}
B
\dfrac{c}{2n_o}
C
\dfrac{c}{4n_o^2}
D
\dfrac{c}{n_o}
E
\dfrac{c}{4n_o}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 do IME 2020

Prova objetiva · Física · Física: Refração da luz e lei de Snell

Diagrama no plano $xy$, com o eixo $x$ horizontal e o eixo $y$ vertical. A trajetória curva do feixe, identificada por “feixe”, desce da esquerda até a origem $(0, 0)$, onde tangencia o eixo $x$, e sobe à direita. Setas sobre a curva indicam o sentido de propagação da esquerda para a direita.

Um feixe de luz hipotético, mostrado na figura acima, propaga-se ao longo do plano xy em um meio não homogêneo, cujo índice de refração é função da coordenada y (n = n(y)). Considerando que o feixe tangencia o eixo x no ponto (0, 0), onde n(0) = n_o. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é c, o valor máximo absoluto possível da componente y para a velocidade do feixe passível de ser atingida é:

A
\dfrac{c}{2n_o^2}
B
\dfrac{c}{2n_o}
C
\dfrac{c}{4n_o^2}
D
\dfrac{c}{n_o}
E
\dfrac{c}{4n_o}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Num meio estratificado, com n=n(y), vale a lei de Snell generalizada: n(y)\,\sen\theta = \text{constante}, em que \theta é o ângulo do raio com o eixo y (a normal às camadas).

Em (0,0) o feixe tangencia o eixo x, ou seja, viaja horizontalmente. Então \theta = 90^\circ e a constante vale n_o:

n(y)\,\sen\theta = n_o

A velocidade do feixe no meio tem módulo v = c/n. Sua componente em y é

v_y = v\cos\theta = \frac{c}{n}\cos\theta

Como \sen\theta = n_o/n, temos \cos\theta=\sqrt{1-n_o^2/n^2}. Assim:

v_y=\frac{c}{n}\sqrt{1-\frac{n_o^2}{n^2}}

Seja u = n_o/n, com 0<u\le 1 (o feixe sobe, então n diminui e u cresce a partir de 1... na verdade \sen\theta\le1 exige n\ge n_o, logo u\le1). Então

v_y=\frac{c}{n_o}\,u\sqrt{1-u^2}

O produto u\sqrt{1-u^2} é máximo quando u^2(1-u^2) é máximo, isto é, em u^2=1/2, onde vale \tfrac12.

Portanto

v_{y,\text{máx}}=\frac{c}{2n_o}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca n_o^2 no denominador, o que não decorre de v_y=\frac{c}{n_o}u\sqrt{1-u^2}.
CTambém usa n_o^2 e um fator 4 sem justificativa.
DSeria a velocidade total máxima suposta, c/n_o, sem tirar o fator \cos\theta\,\sen\theta máximo igual a 1/2.
EFator 4 errado; o máximo de u\sqrt{1-u^2} é 1/2, não 1/4.

Assunto: Refração da luz e lei de Snell.

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Questão 27 no caderno Prova objetiva do IME 2020

Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗