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Questão 24 do IME 2020

Prova objetiva · Física · Física: Impulso e quantidade de movimento

Duas partículas com cargas elétricas q_1 e q_2 movem-se no plano xy e suas posições em função do tempo t são dadas pelos pares ordenados p_1(t) = [x_1(t), y_1(t)] e p_2(t) = [x_2(t), y_2(t)], respectivamente.

Dados:

  • constante de Coulomb: k = 9{,}0 \times 10^9;
  • cargas elétricas: q_1 = 2{,}0 \times 10^{-6} e q_2 = 2{,}5 \times 10^{-6}; e
  • posições das partículas: p_1(t) = \left(\dfrac{5}{\sqrt{t}}, \dfrac{1}{\sqrt{t}} - 1\right), p_2(t) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{t}}, \dfrac{4}{\sqrt{t}} - 1\right)

Considerando todas as grandezas dadas no Sistema Internacional de Unidades, o módulo da componente y do impulso da força que uma partícula exerce sobre a outra no intervalo de tempo de 1{,}0 a 6{,}0 é:

  1. A
    13{,}5 \times 10^{-3}
  2. B
    18{,}9 \times 10^{-3}
  3. C
    25{,}2 \times 10^{-3}
  4. D
    31{,}5 \times 10^{-3}
  5. E
    37{,}8 \times 10^{-3}
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Resolução comentada

O impulso é a integral da força no tempo. Como a força é de Coulomb, precisamos da distância entre as partículas e da direção da força em cada instante.

Seja u = 1/\sqrt{t}. Então p_1 = (5u,\ u-1) e p_2 = (u,\ 4u-1).

  1. Vetor de p_1 para p_2: (u-5u,\ 4u-1-u+1) = (-4u,\ 3u).
  2. Distância: d = \sqrt{16u^2+9u^2} = 5u.
  3. Direção: o vetor unitário é (-4/5,\ 3/5), constante no tempo. A componente y da força é, portanto, \frac{3}{5}F em módulo.
  4. Módulo da força: F = \dfrac{k q_1 q_2}{d^2} = \dfrac{9\times10^9 \cdot 2\times10^{-6}\cdot 2{,}5\times10^{-6}}{25u^2} = \dfrac{4{,}5\times10^{-2}}{25u^2} = \dfrac{1{,}8\times10^{-3}}{u^2}.
  5. Como u^2 = 1/t, temos F = 1{,}8\times10^{-3}\,t.
  6. Componente y: F_y = \frac{3}{5}\cdot 1{,}8\times10^{-3}\,t = 1{,}08\times10^{-3}\,t.

Impulso em y:

I_y=\int_1^6 1{,}08\times10^{-3}\,t\,dt = 1{,}08\times10^{-3}\cdot\frac{6^2-1^2}{2} = 1{,}08\times10^{-3}\cdot 17{,}5 = 18{,}9\times10^{-3}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: é o impulso total (módulo da força integrado), sem projetar na direção y com o fator 3/5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a integral correta de F_y; não corresponde a nenhum erro de cálculo coerente com t de 1 a 6.
  • CProvavelmente usa outra razão trigonométrica ou erra a integral; não bate com 1{,}08\times10^{-3}\cdot17{,}5.
  • DCorresponde ao impulso total, com F=1{,}8\times10^{-3}t integrado (31{,}5\times10^{-3}), sem tomar a componente y (fator 3/5).
  • EUsa 4/5 no lugar de 3/5 (componente x), dando 25{,}2\times10^{-3}, ou outro erro; não corresponde ao resultado correto.

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Cinemática vetorial e composição de movimentos, Força elétrica e lei de Coulomb.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗