PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do IME 2020

Prova objetiva · Física · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Estrutura com uma haste horizontal e fios sustentando uma barra vertical de comprimento h totalmente submersa em água. Fios ligados às extremidades B e C da haste conectam-se ao ponto central A no topo da barra, formando ângulos de 60° com a haste. Uma linha tracejada vertical passa pelo ponto médio D da haste e pelo centro da barra, indicando a tração vertical para cima.

Uma barra de metal de massa M uniformemente distribuída e seção reta quadrada de lado L encontra-se totalmente submersa e sustentada pela estrutura na figura, composta por uma haste e por fios inextensíveis com massas desprezíveis. Em determinado instante, a haste começa a ser puxada lentamente pelo fio central em D, de modo que a barra começa a emergir. Esse movimento durou até que apenas 25% da barra estivesse imersa, momento em que ocorreu o rompimento do fio AB.

Dados:

  • comprimento da barra: h;
  • aceleração da gravidade: g; e
  • massa específica da água: \mu.

A força de tração que leva à ruptura do fio AB é:

  1. A
    \sqrt{3}(2M - \mu\,h\,L^2)\text{g} / 6
  2. B
    \sqrt{3}(4M - \mu\,h\,L^2)\text{g} / 12
  3. C
    \sqrt{3}(4M - \mu\,h\,L^2)\text{g} / 6
  4. D
    \sqrt{3}(2M - \mu\,h\,L^2)\text{g} / 3
  5. E
    \sqrt{3}(8M - \mu\,h\,L^2)\text{g} / 6
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Resolução comentada

Quando apenas 25% da barra está imersa, o volume submerso é V = 0{,}25\,h L^2. O empuxo é então:

E = \mu\, g\,\frac{h L^2}{4}

A barra sobe lentamente, ou seja, está em equilíbrio. As forças verticais sobre ela são o peso Mg (para baixo), o empuxo E (para cima) e a tração total dos fios no ponto A (para cima).

  1. Tração vertical total no ponto A:

    T_A = Mg - \frac{\mu g h L^2}{4} = \frac{(4M - \mu h L^2)g}{4}

  2. Os fios AB e AC são simétricos e formam 60^\circ com a horizontal (a haste). Cada fio sustenta metade da tração vertical:

    T\,\sen 60^\circ = \frac{T_A}{2}

  3. Substituindo \sen 60^\circ = \sqrt{3}/2:

    T\,\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(4M - \mu h L^2)g}{8}

    T = \frac{(4M - \mu h L^2)g}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\,(4M - \mu h L^2)g}{12}

Essa é a tração em AB no instante da ruptura.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa o empuxo e o peso com proporções erradas (2M no lugar de 4M), sem relação com 25% imerso.
  • CEsquece de dividir a tração vertical entre os dois fios, obtendo o dobro do valor correto.
  • DCombina coeficiente 2M incorreto com fator 1/3, sem base no equilíbrio.
  • EUsa 8M, como se o empuxo fosse calculado para fração errada do volume, e também não divide entre os fios.

Assuntos: Empuxo e princípio de Arquimedes, Equilíbrio do ponto material.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗