PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 do IME 2019

Prova objetiva · Física · Física: Astronomia e cosmologia

Duas pessoas executam um experimento para medir o raio da Terra a partir da observação do pôr do Sol. No momento em que uma pessoa, deitada, observa o pôr do Sol a partir do nível do mar, uma outra pessoa, de pé, inicia a contagem do tempo até que ela observe o pôr do Sol a partir da altura dos seus olhos. Sabendo-se que o intervalo de tempo entre as duas observações é \Delta t, o raio da Terra obtido por meio desse experimento é

Observações:

  • considere a terra uma esfera perfeita;
  • considere o eixo de rotação do planeta perpendicular ao plano de translação;
  • o experimento foi executado na linha do Equador; e
  • desconsidere o movimento de translação da Terra.

Dados:

  • período de rotação da Terra: T; e
  • distância vertical entre os olhos do segundo observador e o nível do mar: h.
  1. A
    \frac{h}{1-\cos\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)}
  2. B
    \frac{h}{sec\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)-1}
  3. C
    h\text{ cotg}\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)
  4. D
    h\text{ cosec}\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)
  5. E
    \frac{h\text{ sen}\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)}{1-\cos\left(2\pi\frac{\Delta t}{T}\right)}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Quando a pessoa deitada, ao nível do mar, vê o Sol se pôr, os raios solares são tangentes à superfície da Terra no ponto onde ela está. Com o Sol muito distante, os raios são paralelos.

A Terra gira, e o observador de pé, cujos olhos estão a uma altura h, só deixa de ver o Sol quando o raio solar passa a tangenciar a esfera de raio R+h... Na verdade, é o contrário: o intervalo \Delta t é o tempo que o ponto de pé leva para sair da posição em que o raio rasante o atingia até o ponto em que o raio tangente à Terra passa pelos olhos dele.

  1. Em \Delta t a Terra gira o ângulo \theta = 2\pi\,\dfrac{\Delta t}{T}.

  2. Na posição em que os olhos veem o Sol se pôr, o raio solar é tangente à Terra em outro ponto. Esse raio forma um triângulo retângulo com o centro da Terra: o cateto é R (do centro ao ponto de tangência) e a hipotenusa é R+h (do centro aos olhos).

  3. O ângulo no centro entre o ponto de tangência e a vertical dos olhos é \theta, pois é o ângulo girado pela Terra:

\cos\theta = \frac{R}{R+h}
  1. Isolando R:
R\cos\theta + h\cos\theta = R \Rightarrow R(1-\cos\theta)=h\cos\theta \Rightarrow R=\frac{h\cos\theta}{1-\cos\theta}

Ou, de forma equivalente:

\frac{R+h}{R}=\sec\theta \Rightarrow 1+\frac{h}{R}=\sec\theta \Rightarrow R=\frac{h}{\sec\theta-1}

Essa é a expressão da alternativa B, com \theta = 2\pi\,\Delta t/T.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a relação trigonométrica: esquece o fator \cos\theta no numerador, que vem de R=h\cos\theta/(1-\cos\theta).
  • CUsa a cotangente, que não vem do triângulo com hipotenusa R+h e cateto R.
  • DUsa a cossecante, relação que não aparece nesse triângulo retângulo.
  • EColoca \sen\theta no numerador em vez de \cos\theta, confundindo o cateto com o seno.

Assuntos: Astronomia e cosmologia, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗