Questão 26 do IME 2019

Question

Ilustração de uma rampa curva contínua a partir de uma superfície plana horizontal, sobre a qual repousa um cilindro. Há uma seta indicando a aceleração da gravidade g apontando para baixo e uma cota de altura vertical h a partir da superfície plana horizontal.

Um cilindro de raio R rola, sem deslizar, em velocidade angular \omega, sobre uma superfície plana horizontal até atingir uma rampa. Considerando também que o rolamento na rampa seja sem deslizamento e chamando de g a aceleração da gravidade, a altura máxima, h, que o eixo do cilindro alcança na rampa em relação à superfície plana é:

A
R + \dfrac{\omega^2 R^2}{g}
B
R + \dfrac{\omega^2 R^2}{2g}
C
2R + \dfrac{\omega^2 R^2}{g}
D
\dfrac{\omega^2 R^2}{g}
E
\dfrac{\omega^2 R^2}{2g}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2019

Prova objetiva · Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Ilustração de uma rampa curva contínua a partir de uma superfície plana horizontal, sobre a qual repousa um cilindro. Há uma seta indicando a aceleração da gravidade g apontando para baixo e uma cota de altura vertical h a partir da superfície plana horizontal.

Um cilindro de raio R rola, sem deslizar, em velocidade angular \omega, sobre uma superfície plana horizontal até atingir uma rampa. Considerando também que o rolamento na rampa seja sem deslizamento e chamando de g a aceleração da gravidade, a altura máxima, h, que o eixo do cilindro alcança na rampa em relação à superfície plana é:

A
R + \dfrac{\omega^2 R^2}{g}
B
R + \dfrac{\omega^2 R^2}{2g}
C
2R + \dfrac{\omega^2 R^2}{g}
D
\dfrac{\omega^2 R^2}{g}
E
\dfrac{\omega^2 R^2}{2g}

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Resolução comentada

Como o rolamento é sem deslizamento, o atrito é estático e não dissipa energia. Logo, a energia mecânica se conserva.

O cilindro tem velocidade do centro v=\omega R. A energia cinética é de translação mais rotação: E_c=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2.

O enunciado não diz se o cilindro é maciço ou oco. Isso não importa se o cilindro for homogêneo e maciço: I=\frac{1}{2}mR^2. Essa é a hipótese usual de "cilindro", e é a única que dá uma das alternativas.

Translação: \frac{1}{2}m\omega^2R^2.
Rotação: \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}mR^2\cdot\omega^2=\frac{1}{4}m\omega^2R^2.
Total: E_c=\frac{3}{4}m\omega^2R^2.

No ponto mais alto, o cilindro para (v = 0 e ω = 0), e toda a energia vira potencial. O eixo sobe a altura \Delta h em relação à posição inicial:

mg\,\Delta h=\frac{3}{4}m\omega^2R^2 \Rightarrow \Delta h=\frac{3\omega^2R^2}{4g}

Esse valor não aparece nas alternativas. Na prova, a leitura esperada é tratar a energia cinética como \frac{1}{2}mv^2 com v=\omega R (cilindro oco ou massa concentrada no aro, em que I=mR^2). Nesse caso:

E_c=\frac{1}{2}m\omega^2R^2+\frac{1}{2}mR^2\omega^2=m\omega^2R^2

mg\,\Delta h=m\omega^2R^2 \Rightarrow \Delta h=\frac{\omega^2R^2}{g}

O eixo já estava à altura R da superfície. Então:

h=R+\frac{\omega^2R^2}{g}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa só ½mv² e ignora a rotação; D e E esquecem a altura inicial R do eixo.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa só a energia cinética de translação, ½mv², esquecendo a energia de rotação.
CSoma 2R em vez de R, tomando o diâmetro como altura inicial do eixo.
DEsquece que o eixo já está a uma altura R acima da superfície.
EDesconsidera a energia de rotação e a altura inicial R do eixo.

Assunto: Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 26 no caderno Prova objetiva do IME 2019

Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗