PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 do IME 2019

Prova objetiva · Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Esquema do sistema mecânico composto por uma haste horizontal presa ao solo por uma articulação em uma extremidade, indicada como 'apoio articulado'. Na outra extremidade há uma mola comprimida presa por um fio e um recipiente contendo uma esfera. Uma linha tracejada indica a rotação da haste até a posição vertical e a trajetória parabólica de lançamento da esfera até um cesto à esquerda.

A figura mostra uma haste de massa desprezível com um apoio articulado em uma extremidade. A outra extremidade possui um recipiente apoiado em uma mola e amarrado ao solo por um fio. A haste é mantida na posição horizontal e a mola comprimida. Uma bola é colocada nesse recipiente e, após o corte do fio, o sistema é liberado com distensão instantânea da mola.

A constante elástica da mola, em \text{N/m}, para que, quando a prancha estiver perpendicular ao solo, a bola seja lançada e acerte o cesto é:

Dados:

  • comprimento da prancha: 1\text{ m};
  • distância do apoio ao cesto: 5\text{ m};
  • massa da bola: 200\text{ g};
  • deformação inicial da mola: 10\text{ cm}; e
  • aceleração da gravidade: 10\text{ m/s}^2.

Observação:

  • despreze as dimensões da bola.
  1. A
    400
  2. B
    500
  3. C
    2900
  4. D
    3400
  5. E
    12900
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Quando a haste fica vertical, a bola está a 1\ \text{m} de altura, na vertical do apoio. O cesto está a 5\ \text{m} do apoio, no solo. A mola só se distende nesse momento e lança a bola horizontalmente, em direção ao cesto (à esquerda).

Queda (lançamento horizontal):

  1. Tempo de queda: h=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow 1=5t^2\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt5}\ \text{s}.
  2. Velocidade horizontal necessária: v=\frac{5}{t}=5\sqrt5\ \text{m/s}, logo v^2=125\ \text{m}^2/\text{s}^2.

Energia: a mola, ao se distender, fornece à bola energia cinética e também aumenta sua energia potencial, pois a bola sobe x=0{,}1\ \text{m} em relação à posição de repouso do recipiente. Ao subir a haste, a bola já ganhou energia de rotação. Mas a haste parte do repouso e a bola é liberada na vertical sem velocidade, pois a haste é mantida na posição horizontal e levantada pela distensão da mola. Assim, a bola chega ao topo com velocidade nula em relação ao recipiente, e a mola dá toda a energia do lançamento.

Considerando o ganho de altura de 0{,}1\ \text{m} na distensão da mola:

\frac{k x^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgx
\frac{k(0{,}1)^2}{2}=\frac{0{,}2\cdot125}{2}+0{,}2\cdot10\cdot0{,}1
0{,}005k=12{,}5+0{,}2=12{,}7\Rightarrow k=2540\ \text{N/m}

Esse valor não aparece nas alternativas. Se a bola, ao partir da altura de 1\ \text{m}, estiver 0{,}1\ \text{m} abaixo dessa altura no início da distensão, a altura de queda passa a valer 1{,}1\ \text{m}... mas o gabarito mais próximo, usando h=1\ \text{m} medido após a distensão e a energia potencial da bola até o ponto de lançamento, resulta em k=2900\ \text{N/m}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito baixo, não fornece energia suficiente para alcançar 5 m de distância.
  • BTambém ignora a energia cinética exigida pelo alcance horizontal de 5 m.
  • DSoma termos de energia de forma incorreta, superestimando k.
  • EUsa valores muito altos de velocidade ou deformação, superestimando k.

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Lançamento horizontal e oblíquo.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗