PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 do IME 2019

Prova objetiva · Física · Física: Força magnética

Esquema de duas partículas próximas à borda esquerda de uma região retangular cinza identificada como “Região sujeita ao campo magnético”. A partícula A, com indicações $+Q$, $2m$, $v$, move-se horizontalmente para a direita em direção à região. A partícula B, com indicações $+Q$, $m$, $2v$, move-se verticalmente para cima, tangenciando a borda esquerda da região.

Figura 1

Sistema de eixos: X aponta para a direita, Y aponta para cima e Z é representado por um ponto dentro de um círculo na origem, indicando o sentido para fora do plano da imagem.

Figura 2

Duas partículas A e B, ambas com carga positiva +Q e massas 2m e m, respectivamente, viajam, em velocidades constantes v e 2v e nas direções e sentidos mostrados na Figura 1, até se chocarem e ficarem grudadas no instante em que penetram numa região sujeita a um campo magnético constante (0, 0, B), sendo B uma constante positiva. O comprimento da trajetória percorrida pelo conjunto A+B dentro da região sujeita ao campo magnético é:

Observações:

  • despreze o efeito gravitacional;
  • antes do choque, a partícula B viaja tangenciando a região sujeita ao campo magnético;
  • o sistema de eixo adotado é o mostrado na Figura 2; e
  • despreze a interação elétrica entre as partículas A e B.
  1. A
    \dfrac{3\sqrt{2}\pi mv}{2QB}
  2. B
    \dfrac{\sqrt{2}\pi mv}{QB}
  3. C
    \dfrac{3\sqrt{2}\pi mv}{QB}
  4. D
    \dfrac{3\pi mv}{2QB}
  5. E
    \dfrac{\sqrt{2}\pi mv}{2QB}
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Resolução comentada

Conceito: o choque é perfeitamente inelástico, então conserva-se a quantidade de movimento. Depois, o conjunto entra no campo e faz um arco de circunferência com raio R=\dfrac{mv}{QB} (massa total, velocidade e carga total).

1. Choque (vetorial):

A: 2m\cdot v em +x. B: m\cdot 2v em +y.

p_x=2mv,\quad p_y=2mv

Massa final: 3m; carga final: 2Q.

v' = \frac{\sqrt{(2mv)^2+(2mv)^2}}{3m}=\frac{2\sqrt2\,v}{3}

A direção é de 45° com o eixo x, para cima e para a direita.

2. Raio da trajetória:

R=\frac{m_{tot}v'}{q_{tot}B}=\frac{3m\cdot \frac{2\sqrt2 v}{3}}{2QB}=\frac{\sqrt2\,mv}{QB}

3. Sentido da curva: a força é \vec F=q\,\vec v\times\vec B. Com \vec v=(1,1,0) e \vec B=(0,0,B): \vec v\times\vec B=(B,-B,0). A força aponta para a direita e para baixo, então a partícula curva no sentido horário.

4. Arco dentro da região: a fronteira é a reta vertical x=0, e o choque ocorre sobre ela. A velocidade faz 45° com a fronteira, entrando no campo. O centro fica na direção (1,-1) a partir do ponto de entrada. Em movimento circular, a partícula sai pela mesma reta, com corda simétrica. O centro está a uma distância R\cos45^\circ da fronteira, do lado interno. O arco dentro da região é o maior, pois o movimento horário a partir de (1,1) contorna o centro passando pelo lado direito. O ângulo percorrido é 270^\circ=\dfrac{3\pi}{2}.

5. Comprimento:

s=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt2\,mv}{QB}=\frac{3\sqrt2\,\pi mv}{2QB}

Alternativa A.

Pegadinha: O arco é de 270° e não de 90° ou 180°: como a velocidade entra a 45° na fronteira e a curva é horária, o arco dentro da região é o maior; além disso, a carga total é 2Q.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa ângulo de 180° em vez de 270°, e o fator numérico não confere com o arco correto.
  • Cdobra o resultado, como se a carga fosse Q em vez de 2Q no raio e/ou o arco fosse 3\pi.
  • Dignora a composição vetorial das velocidades e usa velocidade e raio incorretos, sem o fator \sqrt2.
  • Eusa arco de 90° (um quarto de volta), em vez de 270°.

Assuntos: Força magnética, Colisões.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗