PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do IME 2019

Prova objetiva · Física · Física: Lentes esféricas

Esquema óptico mostrando uma lanterna cilíndrica com diâmetro d inclinada em 45° em relação à horizontal, emitindo um feixe cônico de luz através de uma lente divergente em direção a um anteparo vertical. O centro óptico da lente é O e seu foco é F, situado a uma distância horizontal de 1 metro do anteparo.

Uma lanterna cilíndrica muito potente possui uma lente divergente em sua extremidade. Ela projeta uma luz sobre um anteparo vertical. O eixo central da lanterna e o eixo principal da lente estão alinhados e formam um ângulo de 45^\text{o} com a horizontal. A lâmpada da lanterna gera raios de luz paralelos, que encontram a lente divergente, formando um feixe cônico de luz na sua saída. O centro óptico da lente O está, aproximadamente, alinhado com as bordas frontais da lanterna. A distância horizontal entre o foco F da lente e o anteparo é de 1 m. Sabendo disto, pode-se observar que o contorno da luz projetada pela lanterna no anteparo forma uma seção plana cônica. Diante do exposto, o comprimento do semieixo maior do contorno dessa seção, em metros, é:

Dados:

  • a lente é do tipo plano-côncava;
  • a face côncava está na parte mais externa da lanterna;
  • diâmetro da lanterna: d = 10\text{ cm};
  • índice de refração do meio externo (ar): 1;
  • índice de refração da lente: 1{,}5;
  • raio de curvatura da face côncava: 2{,}5\sqrt{3}\text{ cm}.
  1. A
    3\sqrt{2}
  2. B
    (\sqrt{3} - 1)
  3. C
    (\sqrt{3} + 1)
  4. D
    \sqrt{3}
  5. E
    2\sqrt{3}
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Resolução comentada

Distância focal. Pela equação dos fabricantes de lentes, com face plana e face côncava voltada para o ar, \frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right), com R_1=\infty e R_2=-R (côncava). Então |f|=\frac{R}{n-1}=\frac{2{,}5\sqrt3}{0{,}5}=5\sqrt3\ \text{cm}.

Feixe cônico. Os raios chegam paralelos ao eixo, numa lente de raio 5\ \text{cm} (metade de d). Depois de divergirem, parecem sair do foco F. Os raios da borda saem do ponto a 5\ \text{cm} do eixo, e a distância de F à lente é 5\sqrt3 cm. O semiângulo do cone é:

\tg\alpha=\frac{5}{5\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\Rightarrow \alpha=30^\circ

Seção no anteparo. O vértice aparente do cone é F, a 1\ \text{m} do anteparo na horizontal. O eixo faz 45^\circ com a horizontal, e as geratrizes extremas fazem 45^\circ+30^\circ=75^\circ e 45^\circ-30^\circ=15^\circ com a horizontal. Alturas atingidas no anteparo, medidas a partir de F:

  1. Superior: y_1=1\cdot\tg75^\circ=2+\sqrt3
  2. Inferior: y_2=1\cdot\tg15^\circ=2-\sqrt3

O eixo maior da elipse (a seção) é a distância entre esses pontos: y_1-y_2=2\sqrt3\ \text{m}. O semieixo maior é a metade: \sqrt3\ \text{m}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana: 2\sqrt3 é o eixo maior completo, e a pergunta pede o semieixo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Avalor sem relação com a geometria do cone; não sai de nenhuma etapa correta.
  • Bconfunde o resultado com \sqrt3-1, sem calcular a diferença das tangentes de 75° e 15°.
  • Csoma \sqrt3+1 sem base nas tangentes dos ângulos extremos.
  • Eé o eixo maior inteiro (2\sqrt3), faltou dividir por 2 para obter o semieixo.

Assunto: Lentes esféricas.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗