Questão 2 do IME 2018

Um numeral escrito como abcd na base b vale a b^3 + b\,b^2\text{-termo}... em concreto, vale a\cdot b^3 + b'\cdot b^2 + c\cdot b + d. Vamos montar o valor de N nas duas bases e igualar.

1. Na base x: N = x^3 + 0\cdot x^2 + 4x + 1 = x^3 + 4x + 1.
2. Na base x-1: N = (x-1)^3 + 4(x-1)^2 + 3(x-1) + 1.
3. Desenvolvendo: (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 e 4(x-1)^2 = 4x^2 - 8x + 4. Somando tudo: x^3 + x^2 + (3-8+3)x + (-1+4-3+1) = x^3 + x^2 - 2x + 1.
4. Igualando: x^3 + 4x + 1 = x^3 + x^2 - 2x + 1, logo x^2 - 6x = 0, e como x>2, x = 6.

Os algarismos são válidos: na base 5, o maior algarismo usado é 4, e 4<5.

Valor de N: N = 6^3 + 4\cdot 6 + 1 = 216 + 24 + 1 = 241.

Conversão para binário: 241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1, ou seja, 241 = 11110001_2.

Conferindo: 128+64+32+16 = 240, mais 1 dá 241.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A10001111_2 = 143, que não é o valor de N (241).
• B11011011_2 = 219, valor diferente de 241.
• C11100111_2 = 231, não coincide com 241.
• D11011110_2 = 222, não coincide com 241.

Assunto: Sistemas de numeração.

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