PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Plano inclinado

Esquema de uma plataforma circular que gira em torno de um eixo vertical central, com velocidade angular ω indicada por setas curvas acima e abaixo da plataforma. Duas superfícies inclinadas simétricas formam ângulos θ com a horizontal e encontram-se no eixo central. Um cubo está apoiado em cada superfície, com seu centro à distância horizontal r do eixo.

O sistema mostrado na figura gira em torno de um eixo central em velocidade angular constante \omega. Dois cubos idênticos, de massa uniformemente distribuída, estão dispostos simetricamente a uma distância r do centro ao eixo, apoiados em superfícies inclinadas de ângulo \theta. Admitindo que não existe movimento relativo dos cubos em relação às superfícies, a menor velocidade angular \omega para que o sistema se mantenha nessas condições é:

Dados:

  • aceleração da gravidade: g;
  • massa de cada cubo: m;
  • aresta de cada cubo: a; e
  • coeficiente de atrito entre os cubos e as superfícies inclinadas: \mu.
  1. A
    \left[\frac{g}{r}\left(\frac{\mu\cdot\cos(\theta)}{\sen(\theta)+\mu\cdot\cos(\theta)}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
  2. B
    \left[\frac{g}{r}\left(\frac{\mu\cdot\cos(\theta)}{\cos(\theta)+\mu\cdot\sen(\theta)}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
  3. C
    \left[\frac{g}{r}\left(\frac{\mu\cdot\sen(\theta)+\cos(\theta)}{\sen(\theta)+\mu\cdot\cos(\theta)}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
  4. D
    \left[\frac{g}{r}\left(\frac{\sen(\theta)-\mu\cdot\cos(\theta)}{\cos(\theta)+\mu\cdot\sen(\theta)}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
  5. E
    \left[\frac{g}{r}\left(\frac{\sen(\theta)-\mu\cdot\cos(\theta)}{\sen(\theta)+\mu\cdot\cos(\theta)}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
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Resolução comentada

Pela figura, as superfícies sobem para fora do eixo, como um funil. Cada cubo descreve uma circunferência horizontal de raio r, então a resultante sobre ele é horizontal, aponta para o eixo e vale m\omega^2 r.

Forças sobre o cubo: peso mg (vertical para baixo), normal N (perpendicular à superfície) e atrito f (ao longo da superfície).

A superfície do lado esquerdo desce em direção ao eixo, e o cubo está sobre ela. A normal aponta para cima e para o eixo: componente vertical N\cos\theta e componente horizontal N\sen\theta (para o eixo).

Com \omega pequeno, o cubo tende a escorregar para baixo, rumo ao eixo. O atrito aponta para cima ao longo do plano, ou seja, para fora do eixo: componente vertical f\sen\theta (para cima) e horizontal f\cos\theta (para fora). No limite, f=\mu N.

  1. Vertical: N\cos\theta+\mu N\sen\theta=mg, logo N=\dfrac{mg}{\cos\theta+\mu\sen\theta}.
  2. Horizontal (para o eixo): N\sen\theta-\mu N\cos\theta=m\omega^2r.

Substituindo N:

\omega^2 r=g\,\frac{\sen\theta-\mu\cos\theta}{\cos\theta+\mu\sen\theta}
\omega=\left[\frac{g}{r}\,\frac{\sen\theta-\mu\cos\theta}{\cos\theta+\mu\sen\theta}\right]^{1/2}

Esse é o valor mínimo de \omega, pois abaixo dele o atrito necessário passaria de \mu N.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem o termo \sen\theta-\mu\cos\theta do numerador; trata o problema como se só o atrito fornecesse a força centrípeta.
  • BNumerador e denominador não saem do equilíbrio de forças; falta a componente da normal N\sen\theta no numerador.
  • CSoma as componentes em vez de subtrair o atrito, o que corresponde a outra situação, não à velocidade mínima.
  • EUsa \sen\theta+\mu\cos\theta no denominador, que não vem da equação vertical N(\cos\theta+\mu\sen\theta)=mg.

Assuntos: Plano inclinado, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗