PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Esquema de uma barra horizontal de comprimento $L$, apoiada em um fulcro situado à distância $a$ da extremidade direita. Seis cubos idênticos de aresta $a$ estão apoiados sobre a barra: um na extremidade esquerda e cinco empilhados à direita. Na pilha, o cubo inferior tem a face esquerda alinhada ao fulcro; sobre ele há dois cubos lado a lado, deslocados em $a/2$ para a esquerda em relação ao cubo inferior; acima deles há um cubo com a face esquerda deslocada em $a/2$ para a direita em relação à face esquerda do par; no topo há outro cubo, deslocado em $a/4$ para a esquerda em relação ao cubo imediatamente abaixo.

O sistema mostrado na figura acima encontra-se em equilíbrio estático, sendo composto por seis cubos idênticos, cada um com massa específica \mu uniformemente distribuída e de aresta a, apoiados em uma alavanca composta por uma barra rígida de massa desprezível. O comprimento L da barra para que o sistema esteja em equilíbrio é:

  1. A
    \dfrac{9}{4}a
  2. B
    \dfrac{13}{4}a
  3. C
    \dfrac{7}{2}a
  4. D
    \dfrac{15}{4}a
  5. E
    \dfrac{17}{4}a
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Resolução comentada

Para o equilíbrio de rotação, o torque dos pesos à esquerda do fulcro deve ser igual ao dos pesos à direita. Como os cubos são idênticos, cada um tem peso P, e basta comparar as distâncias horizontais dos centros de massa ao fulcro (origem, com x>0 para a direita).

Posições dos centros dos cubos da pilha, lendo a figura:

  1. Cubo inferior: ocupa de 0 a a, então o centro está em a/2.
  2. Par do segundo nível: a face esquerda está a/2 à esquerda da do cubo inferior, então os cubos ocupam de -a/2 a 3a/2. Os centros estão em 0 e a, somando a.
  3. Cubo do terceiro nível: a face esquerda está a/2 à direita da face esquerda do par, ou seja, em 0. Ele ocupa de 0 a a, com centro em a/2.
  4. Cubo do topo: a face esquerda está a/4 à esquerda da do cubo abaixo, então ocupa de -a/4 a 3a/4, com centro em a/4.

Soma dos braços à direita:

\frac{a}{2}+a+\frac{a}{2}+\frac{a}{4}=\frac{9a}{4}

O cubo da esquerda está na extremidade esquerda da barra. O fulcro fica a L-a dessa extremidade, e o centro do cubo está a a/2 dela. Logo, o braço desse cubo é:

L-a-\frac{a}{2}=L-\frac{3a}{2}

Equilíbrio de torques (o P se cancela):

L-\frac{3a}{2}=\frac{9a}{4}\Rightarrow L=\frac{15a}{4}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa apenas o braço da pilha, 9a/4, esquecendo de somar a distância 3a/2 do cubo da esquerda.
  • BResulta de erro na posição dos centros da pilha, com braço total de 7a/4 em vez de 9a/4.
  • CResulta de erro nas posições dos centros ou no braço do cubo esquerdo, dando 7a/2.
  • ESuperestima o braço da pilha (11a/4 em vez de 9a/4), por exemplo ao deslocar errado o cubo do terceiro nível.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Equilíbrio do ponto material.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗