PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Cinemática vetorial e composição de movimentos

Duas partículas A e B, carregadas eletricamente com mesmos valores de cargas positivas, partem da origem em velocidade nula no instante t = 0, e têm suas componentes de aceleração em relação aos eixos X e Y regidas pelas seguintes equações temporais:

Partícula A: \begin{cases} a_x(t) = \cos(t) \\ a_y(t) = \sen(t) \end{cases}

Partícula B: \begin{cases} a_x(t) = -\cos(t) \\ a_y(t) = \sen(t) - \cos(t) \end{cases}

O instante t_{\min} , onde 0 \le t_{\min} < 2\pi, em que a força de repulsão entre as cargas é mínima é

  1. A
    \frac{3}{2}\pi
  2. B
    \frac{1}{4}\pi
  3. C
    \frac{1}{2}\pi
  4. D
    \frac{3}{4}\pi
  5. E
    \pi
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Resolução comentada

A força de repulsão é inversamente proporcional ao quadrado da distância, então ela é mínima quando a distância entre as partículas é máxima. Para achar a posição, integramos a aceleração duas vezes, com v(0)=0 e posição inicial na origem.

Partícula A:

  1. v_x = \sen t e v_y = 1-\cos t.
  2. x_A = 1-\cos t e y_A = t-\sen t.

Partícula B:

  1. v_x = -\sen t e v_y = -\cos t - \sen t + 1.
  2. x_B = \cos t - 1 e y_B = -\sen t + \cos t + t - 1.

Na integração de v_y de B: \int(\sen t-\cos t)\,dt = -\cos t-\sen t + C, e com v_y(0)=0 temos C=1. Integrando de novo: y_B = -\sen t + \cos t + t + C', com y_B(0)=0 temos C'=-1. Confere.

Diferença de posição:

  • \Delta x = x_A - x_B = 2 - 2\cos t
  • \Delta y = y_A - y_B = t - \sen t - (-\sen t + \cos t + t - 1) = 1-\cos t

A distância ao quadrado é

d^2 = 4(1-\cos t)^2 + (1-\cos t)^2 = 5(1-\cos t)^2

O valor máximo ocorre quando \cos t = -1, isto é, t=\pi, com d = 2\sqrt5. Nesse instante a distância é máxima e a força de repulsão é mínima.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEm t=3\pi/2, \cos t=0, então d é apenas intermediária.
  • BEm t=\pi/4 a distância ainda é pequena, perto do mínimo, o que daria força grande.
  • CEm t=\pi/2, \cos t=0, então d não é máxima.
  • DEm 3\pi/4, \cos t=-\sqrt2/2, então 1-\cos t<2 e a distância não é máxima.

Assuntos: Cinemática vetorial e composição de movimentos, Força elétrica e lei de Coulomb.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗