PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Lentes esféricas

Esquema de duas lanternas cilíndricas horizontais, uma acima da outra, ambas de diâmetro D, emitindo luz para a direita. A lanterna superior possui lente convergente, e seus raios convergem para um ponto; a inferior possui lente divergente, e seus raios se afastam. Os centros ópticos O das lentes estão alinhados em uma linha vertical tracejada. À direita há um anteparo vertical. A distância horizontal entre os centros ópticos e o anteparo é x, e a distância vertical entre os eixos horizontais tracejados das lanternas é y. Setas com o rótulo “luz” apontam para os feixes incidentes nas duas lentes.

Conforme a figura acima, duas lanternas muito potentes, cilíndricas, com diâmetro D = 4\ \text{cm}, estão alinhadas no plano vertical. Ambas possuem lentes nas extremidades, cujos centros ópticos O estão alinhados verticalmente e cujas distâncias focais são f = 3\ \text{cm}. Uma das lentes é convergente e a outra é divergente. Suas lâmpadas geram raios de luz horizontais, que encontram as lentes das respectivas lanternas e são projetados até um anteparo vertical. Sabendo que a distância entre os centros ópticos das duas lentes é y = 12\ \text{cm}, a distância máxima x entre os centros ópticos das lentes O e o anteparo, em centímetros, que faz com que a luz projetada pelas lanternas não se sobreponha é:

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    18
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Resolução comentada

Raios paralelos ao eixo, ao atravessarem uma lente, passam pelo foco (convergente) ou parecem sair do foco (divergente). Por isso, o raio que incide na borda da lente (a 2\ \text{cm} do eixo) se desvia com inclinação \tg\theta = \dfrac{2}{3}.

Lente superior (convergente): os raios se cruzam no foco, a 3\ \text{cm} da lente, e depois se abrem. A uma distância x da lente, a luz projetada tem meia-largura:

h_1 = \frac{2}{3}(x-3)\quad (x>3)

Lente inferior (divergente): os raios se abrem como se saíssem do foco virtual, 3\ \text{cm} atrás da lente. A meia-largura no anteparo é:

h_2 = \frac{2}{3}(x+3)

Os eixos estão separados por y = 12\ \text{cm}. As manchas não se sobrepõem se h_1 + h_2 \le 12 (no limite, se tocam):

  1. \dfrac{2}{3}(x-3) + \dfrac{2}{3}(x+3) = 12
  2. \dfrac{2}{3}\cdot 2x = 12
  3. x = 9\ \text{cm}

Para x maior que 9 cm as manchas se sobrepõem; logo, a distância máxima é 9\ \text{cm}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o máximo; a luz não se sobrepõe, mas não é a distância máxima.
  • CEsquece que o feixe convergente se estreita até o foco e usa abertura de 2 cm por 3 cm de forma incorreta, ou soma só as larguras sem o deslocamento do foco.
  • DResulta de erro na soma das meias-larguras (ignora o foco ou usa diâmetro em vez de raio).
  • EUsa o diâmetro de 4 cm em vez do raio de 2 cm, dobrando a abertura e errando o limite.

Assunto: Lentes esféricas.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗