Questão 22 do IME 2018

Numa corda pendurada, a tração varia ao longo dela: num ponto a uma distância x da extremidade livre (de baixo), a tração sustenta apenas o trecho abaixo, de massa \mu x. Então:

A velocidade de um pulso numa corda é v=\sqrt{T/\mu}. Substituindo:

Como a velocidade não é constante, usamos v = \dfrac{dx}{dt} e integramos.

1. dt=\dfrac{dx}{\sqrt{g x}}
2. t=\displaystyle\int_0^L \frac{dx}{\sqrt{g x}}=\frac{1}{\sqrt g}\int_0^L x^{-1/2}dx
3. \displaystyle\int_0^L x^{-1/2}dx = 2\sqrt{L}
4. Logo, t = \dfrac{2\sqrt L}{\sqrt g}=2\sqrt{\dfrac{L}{g}}

Conferindo: a velocidade vai de 0 (embaixo) a \sqrt{gL} (no teto). Se fosse constante e igual à média da raiz, o tempo ficaria na mesma ordem de \sqrt{L/g}, o que é coerente. O resultado não depende de \mu, pois ele se cancela.

Alternativa E.

Pegadinha: Usar a velocidade máxima \sqrt{gL} como constante daria \sqrt{L/g}; a tração varia, então é preciso integrar.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem fundamento físico; ignora a integração da velocidade variável.
• BFator \sqrt{2} extra, como se a velocidade fosse \sqrt{gx/2}; não decorre da tração \mu g x.
• CMistura a fórmula de queda livre com um fator 3 sem relação com o problema.
• DResultado de uma integração errada do tipo x^{3/2}, em vez de x^{-1/2}.

Assunto: Ondas: conceitos e equação fundamental.

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