PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Considere as alternativas:

I. O inverso de um irracional é sempre irracional.

II. Seja a função f \colon A \rightarrow B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X \cap Y) = f(X) \cap f(Y).

III. Seja a função f \colon A \rightarrow B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y).

IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A \cap B = A se, e somente se, B \subset A.

São corretas:

Obs: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.

  1. A
    I, apenas.
  2. B
    I e III, apenas.
  3. C
    II e IV, apenas.
  4. D
    I e IV, apenas.
  5. E
    II e III, apenas.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Se x é irracional, 1/x é irracional. Prova: se 1/x = p/q fosse racional (com p\neq 0, pois 1/x\neq 0), então x = q/p seria racional, contradição. Logo, I é verdadeira.

II. Em geral vale apenas f(X\cap Y)\subset f(X)\cap f(Y). A igualdade falha quando f não é injetora. Contraexemplo: f(x)=x^2, X=\{-1\}, Y=\{1\}. Então X\cap Y=\emptyset e f(X\cap Y)=\emptyset, mas f(X)\cap f(Y)=\{1\}. II é falsa.

III. Se b\in f(X\cup Y), existe a\in X\cup Y com f(a)=b. Então a\in X ou a\in Y, ou seja, b\in f(X) ou b\in f(Y). A volta é análoga. III é verdadeira, para quaisquer f, X e Y.

IV. A\cap B=A equivale a A\subset B, e não a B\subset A. Contraexemplo: A=\{1\}, B=\{1,2\}. Aqui A\cap B=A, mas B\not\subset A. IV é falsa.

São corretas somente I e III.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana ao tratar a imagem da interseção como igual à interseção das imagens, o que só vale para f injetora.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aesquece que a imagem da união é a união das imagens, então III também é verdadeira.
  • CII é falsa sem injetividade e IV troca o sentido da inclusão (A\subset B).
  • DIV é falsa, pois A\cap B=A equivale a A\subset B, e III é verdadeira.
  • EII é falsa: a imagem da interseção pode ser menor que a interseção das imagens, e I também é verdadeira.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗