PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Esquema de dois corpos de massa m ligados por fios a um sistema de polias. Um corpo está sobre um plano inclinado de ângulo α com a horizontal; o fio ligado a ele forma um ângulo β com a direção do plano e passa por uma polia superior fixa de raio r. Abaixo dela há duas polias solidárias, de raios r e R, com eixo preso a um suporte. O fio que passa pela polia superior liga-se à polia de raio r, enquanto outro fio, ligado à polia de raio R, sustenta o segundo corpo, totalmente imerso em um recipiente com líquido de massa específica μ.

Como mostra a figura, dois corpos de massa m e volume V estão em equilíbrio estático. Admita que \mu é a massa específica do líquido, que não existe atrito entre o corpo e o plano inclinado e que as extremidades dos fios estão ligadas a polias, sendo que duas delas são solidárias, com raios menor e maior r e R, respectivamente. A razão R/r para que o sistema esteja em equilíbrio é:

  1. A
    \dfrac{m\,\sen(\alpha+\beta)}{m-\mu V}
  2. B
    \dfrac{m\cos(\alpha+\beta)}{m-\mu V}
  3. C
    \dfrac{\sen(\alpha)}{\cos(\beta)}\left(1-\dfrac{\mu V}{m}\right)^{-1}
  4. D
    \dfrac{\cos(\alpha)}{\sen(\beta)}\left(1-\dfrac{\mu V}{m}\right)^{-1}
  5. E
    \cos(\alpha+\beta)\left(1-\dfrac{\mu V}{m}\right)
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Resolução comentada

Ideia: as duas polias solidárias giram juntas, então o equilíbrio de rotação exige que os torques das trações nos fios se igualem em relação ao eixo.

Bloco imerso (fio de raio R): o corpo está em equilíbrio sob peso, empuxo e tração:

T_2 = mg - \mu V g = g(m-\mu V)

Bloco no plano inclinado: sem atrito, o fio forma ângulo \beta com o plano. A componente da tração ao longo do plano equilibra a componente do peso:

T_1\cos\beta = mg\,\sen\alpha \Rightarrow T_1=\frac{mg\,\sen\alpha}{\cos\beta}

Torques nas polias solidárias: o fio do bloco inclinado passa pela polia fixa e desce verticalmente até a polia de raio r, então puxa com a tração T_1 nessa polia. O fio do corpo imerso está na polia de raio R e puxa com T_2. Pela figura, esses dois fios descem pelo mesmo lado do eixo, e a rotação só se equilibra se a tração T_1 em r for equilibrada por T_2 em R (o fio grosso preso ao plano não gera torque útil):

T_1 r = T_2 R \Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{T_1}{T_2}

Substituindo:

\frac{R}{r}=\frac{m\,\sen\alpha}{\cos\beta\,(m-\mu V)}=\frac{\sen\alpha}{\cos\beta}\left(1-\frac{\mu V}{m}\right)^{-1}

Isso coincide com a forma da alternativa C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa \sen(\alpha+\beta), mas a componente da tração ao longo do plano envolve \cos\beta e o peso envolve \sen\alpha separadamente.
  • Busa \cos(\alpha+\beta), ângulo que não aparece no equilíbrio do bloco no plano.
  • Dtroca as funções: \cos\alpha seria a componente normal do peso e \sen\beta não é a componente ao longo do plano.
  • Einverte a razão e usa o ângulo combinado errado, multiplicando pelo fator do empuxo em vez de dividir.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Plano inclinado, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗