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Questão 30 do IME 2017

Prova objetiva · Física · Física: Impulso e quantidade de movimento

Esquema de um feixe homogêneo de projéteis representado por linhas horizontais paralelas com setas para a direita, incidindo sobre uma esfera representada por um círculo. Um diâmetro horizontal atravessa o círculo, e um raio liga o centro a um ponto da superfície no quadrante superior esquerdo. O ângulo $\alpha$ é indicado entre esse raio e a metade esquerda do diâmetro.

Considere um feixe homogêneo de pequenos projéteis deslocando-se na mesma direção e na mesma velocidade constante até atingir a superfície de uma esfera que está sempre em repouso.

A esfera pode ter um ou dois tipos de superfícies: uma superfície totalmente refletora (colisão perfeitamente elástica entre a esfera e o projétil) e/ou uma superfície totalmente absorvedora (colisão perfeitamente inelástica entre a esfera e o projétil).

Em uma das superfícies (refletora ou absorvedora), o ângulo \alpha da figura pertence ao intervalo [0,\beta], enquanto na outra superfície (absorvedora ou refletora) \alpha pertence ao intervalo (\beta,\pi/2].

Para que a força aplicada pelos projéteis sobre a esfera seja máxima, o(s) tipo(s) de superfície(s) é(são):

  1. A
    refletora em [0,\pi/3] e absorvedora em (\pi/3,\pi/2].
  2. B
    refletora em [0,\pi/4] e absorvedora em (\pi/4,\pi/2].
  3. C
    absorvedora em [0,\pi/6] e refletora em (\pi/6,\pi/2].
  4. D
    absorvedora em [0,\pi/4] e refletora em (\pi/4,\pi/2].
  5. E
    absorvedora em [0,\pi/2].
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Resolução comentada

Considere um projétil de massa m e velocidade v horizontal que atinge a esfera num ponto em que o raio faz o ângulo \alpha com a horizontal. A normal à superfície é a direção do raio, e o ângulo de incidência (entre a velocidade e a normal) vale \alpha.

Superfície absorvedora (inelástica): o projétil perde toda a sua quantidade de movimento horizontal. Pelo enunciado, só a direção horizontal importa para a força resultante (por simetria, as componentes verticais se cancelam no feixe). A variação de momento na horizontal é mv, independentemente de \alpha. Para o ponto de impacto específico, é preciso comparar com o caso refletor.

Superfície refletora (elástica): a componente normal inverte, e a tangencial se mantém. A componente normal da velocidade é v\cos\alpha, então o impulso normal é 2mv\cos\alpha. Sua componente horizontal é 2mv\cos\alpha\cdot\cos\alpha = 2mv\cos^2\alpha.

Compare, para cada \alpha, os dois valores de impulso horizontal por projétil:

  1. Absorvedora: mv.
  2. Refletora: 2mv\cos^2\alpha.

A refletora é melhor quando

2\cos^2\alpha > 1 \Rightarrow \cos 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha < \frac{\pi}{4}.

Para \alpha>\pi/4, a absorvedora fornece mais impulso. O número de projéteis que atingem cada região é o mesmo critério para ambas, então a escolha ponto a ponto maximiza a força total.

Logo, a superfície deve ser refletora em [0,\pi/4] e absorvedora em (\pi/4,\pi/2].

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D troca os tipos de superfície na divisão correta em \pi/4, enganando quem não compara 2\cos^2\alpha com 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa \pi/3 como ponto de troca, mas a igualdade 2\cos^2\alpha=1 ocorre em \pi/4.
  • Cinverte os tipos de superfície e usa \pi/6, que não é o ângulo de igualdade.
  • Dinverte os tipos: absorvedora perto do eixo, onde a refletora dá quase o dobro do impulso.
  • Eignora que a refletora gera mais força para ângulos pequenos.

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Colisões.

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗