PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 do IME 2017

Prova objetiva · Física · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Uma mancha de óleo em forma circular, de raio inicial r_0, flutua em um lago profundo com água cujo índice de refração é n. Considere que a luz que atinge a mancha e a superfície da água seja difusa e que o raio da mancha cresça com a aceleração constante a. Partindo do repouso em t = 0, o volume de água abaixo da mancha que não recebe luz, após um intervalo de tempo t, é:

  1. A
    \frac{\pi r_0}{3tan(sen^{-1}(\frac{1}{n}))}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]^2
  2. B
    \frac{\pi}{2tan(sen^{-1}(\frac{1}{n}))}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]^3
  3. C
    \frac{\pi}{3tan(sen^{-1}(\frac{1}{n}))}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]^3
  4. D
    \frac{\pi r_0}{3tan(sen^{-1}(n))}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]^2
  5. E
    \frac{\pi {r_0}^2}{3tan(sen^{-1}(n))}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]
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Resolução comentada

A luz difusa chega à superfície da água vinda de todas as direções. Ela entra na água com ângulos de refração de até o ângulo limite \theta_L, onde \sen\theta_L = \frac{1}{n}. Isso vale porque o raio rasante (incidência de 90^\circ) é o que produz o maior ângulo de refração: 1\cdot\sen 90^\circ = n\sen\theta_L.\n\nA região sem luz fica sob a mancha, que é opaca. Um raio rasante que entra na borda da mancha segue com ângulo \theta_L com a vertical e delimita um cone. Esse cone tem vértice no eixo, sob o centro da mancha, e base na própria mancha.\n\nPara a altura h do cone, com raio da base r:\n\n

\tg\theta_L = \frac{r}{h} \Rightarrow h = \frac{r}{\tg\theta_L}, \quad \theta_L = \sen^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)
\n\nO raio cresce com aceleração constante, partindo do repouso em t=0:\n\n
r = r_0 + \frac{1}{2}at^2
\n\nO volume do cone é:\n\n
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi r^3}{3\,\tg\left(\sen^{-1}\frac{1}{n}\right)}
\n\nSubstituindo r:\n\n
V = \frac{\pi}{3\,\tg\left(\sen^{-1}\frac{1}{n}\right)}\left[\frac{1}{2}at^2 + r_0\right]^3
\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem expoente 2 no colchete e um fator r_0 sobrando, o que não corresponde ao volume do cone.
  • BUsa o fator \frac{1}{2} em vez de \frac{1}{3} do volume do cone.
  • DUsa \sen^{-1}(n), que não existe para n>1, e tem expoente e fator r_0 errados.
  • EUsa \sen^{-1}(n) e uma potência errada de r, com r_0^2 sobrando.

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Movimento uniformemente variado (MUV).

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗