PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 do IME 2017

Prova objetiva · Física · Física: Ondas: conceitos e equação fundamental

Uma corda mista sobre o eixo horizontal tem uma densidade linear para a coordenada x < 0 e outra para x \ge 0. Uma onda harmônica, dada por A\sen(\omega t - k_1x), onde t é o instante de tempo, propaga-se na região onde x < 0 e é parcialmente refletida e parcialmente transmitida em x = 0. Se a onda refletida e a transmitida são dadas por B\sen(\omega t + k_1x) e C\sen(\omega t - k_2x), respectivamente, onde \omega, k_1 e k_2 são constantes, então a razão entre as amplitudes da onda refletida e da incidente, dada por \left| ^B/_A \right|, é igual a:

Observação:

  • considere \frac{\sen(ax)}{x} = a, para |x| próximo a zero.
  1. A
    \left|\frac{k_1-k_2}{k_1+2k_2}\right|
  2. B
    \left|\frac{k_1-k_2}{2k_1+k_2}\right|
  3. C
    \left|\frac{k_1-k_2}{k_1}\right|
  4. D
    \left|\frac{k_1-k_2}{k_2}\right|
  5. E
    \left|\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right|
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Resolução comentada

Na junção x=0 valem duas condições de contorno: a corda é contínua (o deslocamento é o mesmo dos dois lados) e a inclinação também é contínua (não há ponta na junção, pois a corda não tem massa concentrada ali).

  1. Continuidade do deslocamento em x=0, para todo t:
A\sen(\omega t)+B\sen(\omega t)=C\sen(\omega t)\Rightarrow A+B=C
  1. Continuidade da derivada em x (inclinação) em x=0:
-k_1A\cos(\omega t)+k_1B\cos(\omega t)=-k_2C\cos(\omega t)\Rightarrow k_1(A-B)=k_2C
  1. Substituindo C=A+B:
k_1(A-B)=k_2(A+B)\Rightarrow A(k_1-k_2)=B(k_1+k_2)
  1. Portanto:
\left|\frac{B}{A}\right|=\left|\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right|

A observação do enunciado (\sen(ax)/x\approx a) sugere derivar a função perto de x=0, o que é justamente a condição de inclinação usada acima.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca um fator 2 errado no denominador (k_1+2k_2), que não surge das condições de contorno.
  • BColoca o fator 2 em k_1 no denominador, resultado de erro algébrico.
  • CDivide só por k_1, ignorando que o denominador vem de k_1+k_2.
  • DDivide só por k_2, também sem somar os números de onda.

Assunto: Ondas: conceitos e equação fundamental.

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗