Questão 22 do IME 2017

Question

$Esquema de um sistema de vasos comunicantes preenchidos por líquido e fechados por dois pistões, identificados como “Pistões”, de áreas $A_1$ e $A_2$, à mesma altura, indicada por uma linha horizontal tracejada. Uma força $F$ atua verticalmente para baixo sobre o pistão da esquerda. Sobre o pistão da direita há uma haste que sustenta uma “Roldana”. Um cabo preso à estrutura do vaso à esquerda passa pela roldana e se liga a um bloco de massa $m$ apoiado em um plano inclinado de ângulo $\theta$ com a horizontal. Uma seta vertical para baixo indica $g$.$

A figura acima apresenta um bloco preso a um cabo inextensível e apoiado em um plano inclinado. O cabo passa por uma roldana de dimensões desprezíveis, tendo sua outra extremidade presa à estrutura de um sistema de vasos comunicantes. Os vasos estão preenchidos com um líquido e fechados por dois pistões de massas desprezíveis e equilibrados à mesma altura. O sistema é montado de forma que a força de tração no cabo seja paralela ao plano inclinado e que não haja esforço de flexão na haste que prende a roldana. A expressão da força F que mantém o sistema em equilíbrio, em função dos dados a seguir, é:

Dados:

Aceleração da gravidade: g;
Massa do corpo: m;
Inclinação do plano de apoio: \theta;
Áreas dos pistões: A_1 e A_2.

A
\frac{A_1}{A_2}mg\sen^2(\theta)
B
\frac{A_1}{A_2}mg\cos^2(\theta)
C
2\frac{A_1}{A_2}mg\sen^2(\theta)
D
2\frac{A_1}{A_2}mg\cos^2(\theta)
E
\frac{A_1}{A_2}mg\sen(2\theta)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 do IME 2017

Prova objetiva · Física · Física: Pressão hidrostática: Stevin e Pascal

$Esquema de um sistema de vasos comunicantes preenchidos por líquido e fechados por dois pistões, identificados como “Pistões”, de áreas $A_1$ e $A_2$, à mesma altura, indicada por uma linha horizontal tracejada. Uma força $F$ atua verticalmente para baixo sobre o pistão da esquerda. Sobre o pistão da direita há uma haste que sustenta uma “Roldana”. Um cabo preso à estrutura do vaso à esquerda passa pela roldana e se liga a um bloco de massa $m$ apoiado em um plano inclinado de ângulo $\theta$ com a horizontal. Uma seta vertical para baixo indica $g$.$

A figura acima apresenta um bloco preso a um cabo inextensível e apoiado em um plano inclinado. O cabo passa por uma roldana de dimensões desprezíveis, tendo sua outra extremidade presa à estrutura de um sistema de vasos comunicantes. Os vasos estão preenchidos com um líquido e fechados por dois pistões de massas desprezíveis e equilibrados à mesma altura. O sistema é montado de forma que a força de tração no cabo seja paralela ao plano inclinado e que não haja esforço de flexão na haste que prende a roldana. A expressão da força F que mantém o sistema em equilíbrio, em função dos dados a seguir, é:

Dados:

Aceleração da gravidade: g;
Massa do corpo: m;
Inclinação do plano de apoio: \theta;
Áreas dos pistões: A_1 e A_2.

A
\frac{A_1}{A_2}mg\sen^2(\theta)
B
\frac{A_1}{A_2}mg\cos^2(\theta)
C
2\frac{A_1}{A_2}mg\sen^2(\theta)
D
2\frac{A_1}{A_2}mg\cos^2(\theta)
E
\frac{A_1}{A_2}mg\sen(2\theta)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Sem atrito mencionado, o bloco em equilíbrio no plano inclinado tem tração T = mg\,\sen\theta ao longo do plano.

O cabo passa pela roldana. De um lado ele desce paralelo ao plano, formando ângulo \theta com a horizontal. Do outro lado ele vai até a estrutura do vaso, no fundo do vaso central, e pela geometria da figura o cabo faz o mesmo ângulo \theta com a horizontal (a tração é paralela ao plano e a haste não sofre flexão, ou seja, a resultante na roldana é vertical, o que exige ângulos iguais).

A roldana recebe, então, duas trações T, cada uma inclinada de \theta com a horizontal. As componentes horizontais se cancelam e as verticais somam, puxando a roldana para baixo:

N = 2T\,\sen\theta = 2mg\,\sen^2\theta

Essa força é transmitida pela haste ao pistão de área A_2, que empurra o líquido para baixo com força N. Como o pistão tem massa desprezível, a pressão no líquido é:

p = \frac{N}{A_2}

Pelo princípio de Pascal, a mesma pressão atua no pistão 1, na mesma altura:

\frac{F}{A_1} = \frac{N}{A_2} \Rightarrow F = \frac{A_1}{A_2}\,2mg\,\sen^2\theta

O cabo preso ao vaso puxa a estrutura, mas esse esforço é interno ao sistema vaso-líquido-pistões e não altera a pressão nos pistões.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana por usar \sen 2\theta, que parece vir do fator 2, mas o correto é 2\sen^2\theta.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aesquece que a roldana recebe duas trações, faltando o fator 2.
Busa cosseno e omite o fator 2; a componente vertical é com seno.
Dtroca seno por cosseno ao projetar a tração na vertical e no peso.
E\sen 2\theta = 2\sen\theta\cos\theta, que mistura seno e cosseno e não dá 2\sen^2\theta.

Assuntos: Pressão hidrostática: Stevin e Pascal, Plano inclinado.

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Questão 22 no caderno Prova objetiva do IME 2017

Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗