PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do IME 2017

Prova objetiva · Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Esquema de um corpo preso a uma corda elástica no topo de um prédio. O corpo está junto à borda superior esquerda, e a corda aparece relaxada acima do topo. O prédio se apoia no solo hachurado, e sua altura em relação ao solo é indicada por uma cota vertical H à direita. Os rótulos visíveis são “corpo”, “corda elástica” e “prédio”.

Um corpo preso a uma corda elástica é abandonado em queda livre do topo de um edifício, conforme apresentado na figura acima. Ao atingir o solo, penetra numa distância x abaixo do nível do solo até atingir o repouso. Diante do exposto, a força de resistência média que o solo exerce sobre o corpo é:

Dados:

  • aceleração gravitacional: g;
  • constante elástica da corda: k;
  • massa do corpo: M;
  • altura do edifício em relação ao solo: H;
  • comprimento da corda: L;
  • distância que o corpo penetra no solo até atingir o repouso: x.

Observação:

  • a corda elástica relaxada apresenta comprimento menor que a altura do edifício.
  1. A
    Mg + \dfrac{MgH + k(HL + Lx - Hx)}{x} - k\dfrac{H^2 + x^2 + L^2}{2x}
  2. B
    Mg + \dfrac{MgH + k(HL - Lx - Hx)}{2x} - k\dfrac{H^2 + x^2 + L^2}{x}
  3. C
    Mg + \dfrac{MgH - k(HL + Lx + Hx)}{2x} + k\dfrac{H^2 + x^2 + L^2}{x}
  4. D
    Mg - \dfrac{MgH - k(HL - Lx - Hx)}{x} + k\dfrac{H^2 + x^2 + L^2}{2x}
  5. E
    Mg + \dfrac{MgH - k(HL + Lx - Hx)}{x} - k\dfrac{H^2 + x^2 + L^2}{2x}
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Resolução comentada

Use conservação de energia: a energia inicial (potencial gravitacional) vira energia elástica da corda mais trabalho da resistência do solo.

A corda está presa ao topo do prédio (e ao corpo), tem comprimento relaxado L<H. O corpo desce H+x até parar. Nesse instante a corda está esticada em H+x-L, pois o corpo está a H+x do topo. Ela só fica tensa depois de a queda passar de L.

Etapas:

  1. Energia potencial perdida: Mg(H+x).
  2. Energia elástica final: \dfrac{k(H+x-L)^2}{2}.
  3. No solo, a resistência média F atua ao longo de x, junto com o peso: o trabalho total das forças não elásticas no trecho do solo é (Mg-F)x.

Como o corpo termina em repouso, a energia cinética inicial e a final são nulas, então:

Mg(H+x)-\frac{k(H+x-L)^2}{2}-Fx=0
F=\frac{Mg(H+x)}{x}-\frac{k(H+x-L)^2}{2x}=Mg+\frac{MgH}{x}-\frac{k(H+x-L)^2}{2x}

Desenvolvendo o quadrado:

(H+x-L)^2=H^2+x^2+L^2+2Hx-2HL-2Lx

Logo:

\frac{k(H+x-L)^2}{2x}=k\frac{H^2+x^2+L^2}{2x}+\frac{k(Hx-HL-Lx)}{x}

Substituindo:

F=Mg+\frac{MgH-k(Hx-HL-Lx)}{x}-k\frac{H^2+x^2+L^2}{2x}
F=Mg+\frac{MgH+k(HL+Lx-Hx)}{x}-k\frac{H^2+x^2+L^2}{2x}

Isso coincide com a alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTem denominadores 2x e x trocados e sinais incorretos nos termos com k.
  • CSinais e denominadores errados; o termo com k fora da fração teria sinal positivo e denominador x.
  • DSubtrai a fração inteira e soma o termo quadrático, invertendo os sinais.
  • ETem o sinal de k(HL+Lx−Hx) trocado; o desenvolvimento do quadrado dá sinal positivo.

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Trabalho de uma força e teorema da energia cinética.

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗