PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2016

Prova objetiva · Física · Física: Cinemática vetorial e composição de movimentos

Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações x_1(t) = 3\text{cos}(t) e y_1(t) = 4\text{sen}(t), sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como x_2(t) = 5\text{cos}(t) e y_2(t) = 5\text{sen}(t). O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:

Observações:

  • os eixos x_1 e x_2 são paralelos e possuem o mesmo sentido; e
  • os eixos y_1 e y_2 são paralelos e possuem o mesmo sentido.
  1. A
    9x^2 + 16y^2 = 25
  2. B
    \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 25
  3. C
    4x^2 + y^2 = 1
  4. D
    \frac{x^2}{4} + y^2 = 1
  5. E
    4x^2 + y^2 = 4
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Os eixos são paralelos, então a diferença entre as descrições é só uma mudança de origem: a posição da partícula vista pelo observador 1 é a posição vista pelo observador 2 mais a posição do observador 2 em relação ao observador 1. Em símbolos, \vec r_1 = \vec r_2 + \vec R, em que \vec R é a posição da origem 2 no sistema 1.

Então, para o observador 1, a posição do observador 2 é:

\vec R = \vec r_1 - \vec r_2
  1. X(t) = x_1 - x_2 = 3\cos t - 5\cos t = -2\cos t
  2. Y(t) = y_1 - y_2 = 4\,\text{sen}\,t - 5\,\text{sen}\,t = -\text{sen}\,t

Para eliminar t, usamos \cos^2 t + \text{sen}^2 t = 1. Como \cos t = -X/2 e \text{sen}\,t = -Y:

\left(\frac{X}{2}\right)^2 + Y^2 = 1 \Rightarrow \frac{X^2}{4} + Y^2 = 1

Ou seja, o observador 1 vê o observador 2 percorrer uma elipse de semieixos 2 e 1, dada por \dfrac{x^2}{4}+y^2=1.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a elipse da partícula com semieixos errados; não faz a diferença entre as posições dos observadores.
  • BEscreve a equação da partícula com 25 no lugar de 1, sem subtrair as coordenadas.
  • CInverte os denominadores, trocando 4 de lugar: 4x^2+y^2=1 dá semieixos 1/2 e 1.
  • EEquivale a x^2+y^2/4=1, com os semieixos trocados (1 em x e 2 em y).

Assunto: Cinemática vetorial e composição de movimentos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno Prova objetiva do IME 2016

Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗