Questão 25 do IME 2016

Question

$Corda de comprimento L com uma extremidade fixa no ponto A e uma seta curva indicando rotação com velocidade angular $\omega$$

Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a \omega. Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por

A
\omega \dfrac{L - r}{\sqrt{2}}
B
\omega \sqrt{\dfrac{L(L-r)}{2}}
C
\dfrac{\omega}{\sqrt{2}L}(L^2 - r^2)
D
\omega \sqrt{\dfrac{L^2 - r^2}{2}}
E
\dfrac{\omega L}{\sqrt{2}} \sqrt{\dfrac{L-r}{L+r}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 do IME 2016

Prova objetiva · Física · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

$Corda de comprimento L com uma extremidade fixa no ponto A e uma seta curva indicando rotação com velocidade angular $\omega$$

Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a \omega. Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por

A
\omega \dfrac{L - r}{\sqrt{2}}
B
\omega \sqrt{\dfrac{L(L-r)}{2}}
C
\dfrac{\omega}{\sqrt{2}L}(L^2 - r^2)
D
\omega \sqrt{\dfrac{L^2 - r^2}{2}}
E
\dfrac{\omega L}{\sqrt{2}} \sqrt{\dfrac{L-r}{L+r}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A velocidade de um pulso em uma corda é v=\sqrt{T/\mu}, em que T é a tração no ponto considerado e \mu a densidade linear.

Como a corda gira, a tração em cada ponto é a força centrípeta necessária para manter em movimento circular o trecho da corda que fica além dele (da posição r até a ponta livre L).

Um pedaço de comprimento dx na posição x tem massa \mu\,dx e exige força centrípeta dF=\mu\,dx\,\omega^2 x.
A tração em r sustenta todos os pedaços de r até L (a extremidade livre tem tração nula):

T(r)=\int_r^L \mu\omega^2 x\,dx=\mu\omega^2\,\frac{L^2-r^2}{2}

Substituindo na velocidade:

v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{\omega^2(L^2-r^2)}{2}}=\omega\sqrt{\frac{L^2-r^2}{2}}

A densidade \mu se cancela, então o resultado não depende dela. Esse é o valor da velocidade no referencial da corda, como pedido.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATrata a tração como linear em L-r e não integra a força centrípeta, que varia com x.
BAproxima L^2-r^2 por L(L-r), ignorando o fator (L+r) da integral.
CTem forma de L^2-r^2 mas sem a raiz quadrada; a velocidade é \sqrt{T/\mu}.
EExpressão sem base física, com razão (L-r)/(L+r) que não surge da integral.

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Questão 25 no caderno Prova objetiva do IME 2016

Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗