PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 do IME 2016

Prova objetiva · Física · Física: Capacitores

Circuito de capacitores em três malhas infinitas, com terminais A e B nos dois nós superiores centrais. Há um capacitor diretamente entre A e B e outro entre os dois nós imediatamente abaixo deles; cada terminal liga-se ao nó abaixo por um capacitor. A partir desse conjunto central, duas fileiras horizontais de capacitores estendem-se à esquerda e à direita, com capacitores ligando verticalmente os nós correspondentes. Dos dois nós inferiores centrais partem duas colunas de capacitores para baixo, interligadas por capacitores horizontais. Reticências à esquerda, à direita e abaixo indicam a continuação infinita das três malhas.

Um circuito é composto por capacitores de mesmo valor C e organizado em três malhas infinitas. A capacitância equivalente vista pelos terminais A e B é

  1. A
    (3^{\frac{1}{2}}+7)\frac{C}{6}
  2. B
    (3^{\frac{1}{2}}+1)\frac{C}{3}
  3. C
    (3^{\frac{1}{2}}+1)\frac{C}{6}
  4. D
    (3^{\frac{1}{2}}+5)\frac{C}{2}
  5. E
    (3^{\frac{1}{2}}+1)\frac{C}{2}
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Resolução comentada

Cada ramo infinito pode ser trocado por uma capacitância equivalente, já que ao acrescentar uma seção à escada a capacitância vista não muda.

Tome C=1. Na escada lateral (e na vertical, que tem a mesma estrutura), cada seção tem um capacitor em série em cada fio e um capacitor entre os fios. Seja x a capacitância vista na entrada:

  1. O capacitor transversal fica em paralelo com o resto da escada: Y = 1 + x.
  2. Esse conjunto fica em série com os dois capacitores dos fios: \frac{1}{x}=1+1+\frac{1}{1+x}.
  3. Isso dá x=\frac{1+x}{3+2x}, ou seja, 2x^2+2x-1=0.
  4. A raiz positiva é x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

As duas escadas laterais e a escada inferior têm esse mesmo valor x.

Chame de A_2 e B_2 os nós logo abaixo de A e B. Os capacitores entre os quatro nós são:

  • entre A e B: C, ligado direto aos terminais;
  • entre A e A_2: C em paralelo com a escada da esquerda, 1+x=\frac{\sqrt3+1}{2};
  • entre B e B_2: igual, \frac{\sqrt3+1}{2}, com a escada da direita;
  • entre A_2 e B_2: C em paralelo com a escada de baixo, também \frac{\sqrt3+1}{2}.

O caminho A–A_2–B_2–B é a série de três capacitâncias iguais a p=\frac{\sqrt3+1}{2}, que dá \frac{p}{3}=\frac{\sqrt3+1}{6}.

Esse caminho fica em paralelo com o capacitor direto entre A e B:

C_{eq}=1+\frac{\sqrt3+1}{6}=\frac{\sqrt3+7}{6}\,C

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula só a série dos três ramos e esquece de somar o capacitor ligado direto entre A e B, que está em paralelo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem a parcela do capacitor direto e com fator errado; não corresponde à associação correta.
  • CConsidera apenas o caminho em série A–A₂–B₂–B e esquece o capacitor direto entre A e B em paralelo.
  • DFator e soma sem sentido na associação; não vem do cálculo da escada.
  • EUsa apenas o valor da escada somado a 1 sem a série de três capacitâncias; resultado incorreto.

Assunto: Capacitores.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗