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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 do IME 2016

Prova objetiva · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Seção reta hachurada de um corpo em forma de pórtico, com duas colunas verticais e uma parte superior triangular. As colunas têm altura y e largura y/4 cada uma, separadas por uma abertura retangular de largura y/2. Os dois lados inclinados do triângulo medem y cada um. A base do corpo repousa sobre o solo horizontal, ao longo do eixo x, orientado para a direita. Uma linha tracejada horizontal marca a altura do topo das colunas.

Um corpo rígido e homogêneo apresenta seção reta com dimensões representadas na figura acima. Considere que uma força horizontal F, paralela ao eixo x, é aplicada sobre o corpo a uma distância de 1{,}5 u.c. do solo e que o corpo desliza sem atrito pelo solo plano horizontal. Para que as duas reações do solo sobre a base do corpo sejam iguais, a distância y, em u.c., deverá ser

Consideração:

  • u.c. – unidade de comprimento.
  1. A
    \cos(\pi/3)
  2. B
    \sen(\pi/3)
  3. C
    2\cos(\pi/3)
  4. D
    2\sen(\pi/3)
  5. E
    3\cos(\pi/3)
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Resolução comentada

Sem atrito, as únicas forças horizontais e verticais são F, o peso P no centro de massa (CM) e as duas reações normais, uma em cada coluna. A figura é simétrica, então o CM fica na vertical central da seção. Se as duas reações forem iguais, a resultante delas também passa por essa vertical, ou seja, pelo CM. Assim, as normais e o peso não geram torque em relação ao CM. Como o corpo não gira, o torque de F em relação ao CM também precisa ser nulo. Isso exige que F seja aplicada na altura do CM: y_{CM}=1{,}5 u.c.

Cálculo do CM, com áreas proporcionais à espessura:

  1. A largura total é y/4+y/2+y/4=y. O triângulo tem base y e lados y, logo é equilátero, com altura \frac{\sqrt3}{2}y.
  2. As duas colunas somam área 2\cdot y\cdot\frac y4=\frac{y^2}{2}, com centroide em \frac y2.
  3. O triângulo tem área \frac{\sqrt3}{4}y^2, com centroide em y+\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}y=y\left(1+\frac{\sqrt3}{6}\right).
y_{CM}=\frac{\frac{y^2}{2}\cdot\frac y2+\frac{\sqrt3}{4}y^2\cdot y\left(1+\frac{\sqrt3}{6}\right)}{\frac{y^2}{2}+\frac{\sqrt3}{4}y^2}=\frac{y(3+2\sqrt3)}{2(2+\sqrt3)}

Racionalizando com (2-\sqrt3): (3+2\sqrt3)(2-\sqrt3)=6-3\sqrt3+4\sqrt3-6=\sqrt3. Portanto y_{CM}=\frac{\sqrt3}{2}y.

Igualando a 1{,}5:

\frac{\sqrt3}{2}y=\frac32\Rightarrow y=\sqrt3=2\,\sen(\pi/3)

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá y=1/2, valor que não satisfaz y_{CM}=1{,}5.
  • BDá y=\sqrt3/2, esquecendo o fator 2 ao isolar y.
  • CDá y=1, que não corresponde a y_{CM}=\frac{\sqrt3}{2}y=1{,}5.
  • EDá y=3/2, que é a altura de F e não o valor de y.

Assunto: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Ver como caiu na prova Questão 22 no caderno Prova objetiva do IME 2016

Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗