PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 do IME 2016

Prova objetiva · Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Estrutura articulada formada por barras AB, BC e CD. O apoio A está engastado em uma parede à esquerda. A barra AB desce até a articulação B, onde atua uma carga vertical para baixo de 40 kN. A barra BC desce de B até C, onde atua uma carga vertical para baixo de 50 kN. A barra CD sobe de C até a articulação D, fixa em uma parede à direita. As cotas horizontais são 2,0 m entre A e B, 2,0 m entre B e C, e 1,5 m entre C e D. Verticalmente, a distância do ponto A ao ponto D é de 2,0 m, e do ponto D ao ponto C é de 2,0 m. A altura vertical entre os nós A e B é indicada por h.

A figura acima, cujas cotas estão em metros, exibe uma estrutura em equilíbrio formada por três barras rotuladas AB, BC e CD. Nos pontos B e C existem cargas concentradas verticais. A maior força de tração que ocorre em uma barra, em kN, e a altura h, em metros, da estrutura são

Consideração:

• as barras são rígidas, homogêneas, inextensíveis e de pesos desprezíveis.

  1. A
    50,0 e 2,50
  2. B
    31,6 e 1,67
  3. C
    58,3 e 3,33
  4. D
    50,0 e 1,67
  5. E
    58,3 e 2,50
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Resolução comentada

Cada barra é rotulada e sem peso, então só transmite força ao longo do seu eixo. Os apoios A e D são articulações, e o equilíbrio de cada nó dá as trações.

Geometria: D está 2,0 m acima de C, e a distância horizontal CD é 1,5 m. Logo CD mede \sqrt{1{,}5^2+2^2}=2{,}5 m, com \cos\theta_{CD}=1{,}5/2{,}5=0{,}6 e \sen\theta_{CD}=0{,}8.

Nó C (forças: T_{CD} para cima e para a direita, T_{BC} para cima e para a esquerda, peso 50 kN):

  1. Horizontal: T_{BC}\cos\alpha = 0{,}6\,T_{CD}, onde \alpha é o ângulo de BC com a horizontal.
  2. Vertical: T_{BC}\sen\alpha + 0{,}8\,T_{CD}=50.

Não sabemos \alpha, pois depende de h. Usamos o nó B, que também dá relações com h.

Seja v a descida de B para C. Pela figura, C está 4,0 m abaixo de A... Como D está 2,0 m acima de C e A está na mesma altura que D, C fica 2,0 m abaixo de A. Então h+v=2{,}0? Pela figura, A está a 2,0 m acima de D, e D a 2,0 m acima de C. Logo C está 4,0 m abaixo de A: h+v=4.

Equilíbrio horizontal em todo o sistema: H_A=H_D. Momento em relação a D, com A a 5,5 m e 2,0 m acima de D:

  • Em D, tomando momentos de todas as cargas e de A_y, A_x temos uma equação com duas incógnitas, e usamos a barra AB como biela (força ao longo de AB).

A força em A tem direção AB: A_y/A_x = h/2. Em D, direção DC: D_y/D_x=4/3.

Somando as forças verticais: A_y+D_y=90. Horizontais: A_x=D_x=H. Então H(h/2+4/3)=90.

Momentos em torno de D (sentido horário positivo): A_y\cdot 5{,}5 - H\cdot 2... com A acima de D em 2 m: A_y(5{,}5)-A_x(2)=40(3{,}5)+50(1{,}5)=215. Com A_y=Hh/2: H(2{,}75h-2)=215.

Dividindo as equações: (2{,}75h-2)/(h/2+4/3)=215/90. Resolvendo: 247{,}5h-180=107{,}5h+286{,}67, logo h\approx3{,}33 m.

Então H=90/(1{,}667+1{,}333)=30 kN, A_y=50 kN, T_{AB}=\sqrt{30^2+50^2}=58{,}3 kN, T_{CD}=30/0{,}6=50 kN. T_{BC} é menor que 58,3.

Maior tração 58,3 kN e h=3{,}33 m.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A e D trazem 50 kN, a tração em CD, que engana quem não calcula a tração em AB, maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa 50 kN (tração de CD) e h incorreto, sem considerar a barra AB.
  • Bvalores sem relação com o equilíbrio dos nós; h e tração incorretos.
  • Dtoma a tração de CD como a maior e h errado.
  • Etração correta, mas h = 2,50 m não satisfaz o equilíbrio de momentos.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Equilíbrio do ponto material.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗