Questão 9 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Question

Plano cartesiano com eixos x e y. Uma circunferência tracejada está centrada no ponto de coordenadas (L, h). A partir da origem, uma reta traço-ponto se estende pelo primeiro quadrante, sobre a qual há um ponto com vetor orientado apontando para o sentido positivo, identificado como "fóton".

Uma esfera, cuja superfície externa é perfeitamente refletora, tem seu centro fixo no ponto de coordenadas (L, h). Seu raio R aumenta linearmente com o tempo segundo a equação:

R(t) = ut.

No instante t = 0, um fóton parte da origem propagando-se à velocidade da luz na direção da reta x = \sqrt{3}\, y, nos sentidos positivos de ambos os eixos.

Em determinado instante, o fóton atinge a superfície da esfera e passa a propagar-se paralelamente ao eixo y, em seu sentido negativo.

Dado:
• velocidade da luz: c.

Observações:
• t \ge 0;
• h > 0;
• L > 0;
• u < c;
• para determinar a direção do fóton refletido, despreze os efeitos do movimento da superfície da esfera e os efeitos relativísticos.

Determine:

a) a velocidade u de expansão do raio da esfera em função de h, L e c;

b) a condição à qual as coordenadas h e L devem satisfazer para que a imposição física do problema seja possível.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Espelhos esféricos

Plano cartesiano com eixos x e y. Uma circunferência tracejada está centrada no ponto de coordenadas (L, h). A partir da origem, uma reta traço-ponto se estende pelo primeiro quadrante, sobre a qual há um ponto com vetor orientado apontando para o sentido positivo, identificado como "fóton".

Uma esfera, cuja superfície externa é perfeitamente refletora, tem seu centro fixo no ponto de coordenadas (L, h). Seu raio R aumenta linearmente com o tempo segundo a equação:

R(t) = ut.

No instante t = 0, um fóton parte da origem propagando-se à velocidade da luz na direção da reta x = \sqrt{3}\, y, nos sentidos positivos de ambos os eixos.

Em determinado instante, o fóton atinge a superfície da esfera e passa a propagar-se paralelamente ao eixo y, em seu sentido negativo.

Dado:
• velocidade da luz: c.

Observações:
• t \ge 0;
• h > 0;
• L > 0;
• u < c;
• para determinar a direção do fóton refletido, despreze os efeitos do movimento da superfície da esfera e os efeitos relativísticos.

Determine:

a) a velocidade u de expansão do raio da esfera em função de h, L e c;

b) a condição à qual as coordenadas h e L devem satisfazer para que a imposição física do problema seja possível.

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Resolução comentada

a) O fóton sai da origem na direção x=\sqrt3\,y, que forma 30^\circ com o eixo x. Seu vetor unitário é \vec d_i=\left(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\right). Depois da reflexão, \vec d_f=(0,-1).

Na reflexão, a componente da velocidade paralela à superfície se conserva e a componente normal se inverte. Logo \vec d_i-\vec d_f é paralelo à normal:

\vec d_i-\vec d_f=\left(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac32\right)\parallel(1,\sqrt3)

A normal forma 60^\circ com o eixo x. Como o fóton vem de fora e atinge a esfera pela parte de baixo e da esquerda, o ponto de impacto está em

P=\left(L-\tfrac R2,\ h-\tfrac{\sqrt3}{2}R\right),\quad R=ut.

O fóton em t está em P=\left(\tfrac{\sqrt3}{2}ct,\ \tfrac12 ct\right). Igualando as coordenadas:

t\left(\tfrac{\sqrt3 c+u}{2}\right)=L
t\left(\tfrac{c+\sqrt3 u}{2}\right)=h

Dividindo (1) por (2):

\frac{\sqrt3c+u}{c+\sqrt3u}=\frac Lh\Rightarrow h\sqrt3c+hu=Lc+\sqrt3Lu

u(h-\sqrt3L)=c(L-\sqrt3h)

\boxed{u=c\,\frac{\sqrt3\,h-L}{\sqrt3\,L-h}}

Resposta: u=c\,\dfrac{\sqrt3h-L}{\sqrt3L-h}

b) Fisicamente, o raio cresce, então u>0. O enunciado ainda dá u<c, portanto 0<u<c.

u>0: numerador e denominador têm o mesmo sinal. A opção \sqrt3h<L e \sqrt3L<h exigiria h<L/\sqrt3 e h>\sqrt3L ao mesmo tempo, o que é impossível para L>0. Resta \sqrt3h>L e \sqrt3L>h, isto é, \dfrac{L}{\sqrt3}<h<\sqrt3L.
u<c: \sqrt3h-L<\sqrt3L-h\Rightarrow h(\sqrt3+1)<L(\sqrt3+1)\Rightarrow h<L.

Juntando as duas condições, e usando que t>0 sai automaticamente das equações (1) e (2):

\frac{L}{\sqrt3}<h<L\quad(\text{ou } h<L<\sqrt3\,h).

Resposta: \dfrac{L}{\sqrt3}<h<L

Assuntos: Espelhos esféricos, Cinemática vetorial e composição de movimentos.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 9 no caderno Física da 2ª fase do IME 2027

Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗