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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Força magnética

Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4 Oscilação

Numa situação a ser escolhida, uma partícula carregada positivamente se desloca à velocidade v vertical de forma equidistante a dois fios infinitos e no mesmo plano deles, sendo que, supondo haver um pequeno desvio horizontal de trajetória, haverá uma força restauradora sobre a partícula, mantendo-a no movimento quase vertical.

Dados:
• distância entre os dois fios: d ;
• massa da partícula: m ;
• carga positiva da partícula: q ;
• correntes elétricas rigorosamente iguais em cada fio: i ;
• velocidade escalar da partícula: v ;
• permeabilidade magnética do meio: \mu_0;
• 1/(1 + x) \approx 1 - x para |x| \ll 1.

Observação:
• assume-se que o movimento continua confinado ao plano dos fios mesmo após eventuais desvios.

Considerando as 4 situações ilustradas, determine:

a) a(s) que poderá(ão) ser escolhida(s) para satisfazer à condição de restauração horizontal supracitada, justificando a escolha ou não para cada uma das situações;

b) o valor aproximado do passo p, indicado na figura mais à direita, para oscilações de pequenas amplitudes, que caracteriza a distância entre dois cruzamentos pelo eixo y na(s) situação(ões) escolhida(s) no item anterior.

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Resolução comentada

a) Os fios são verticais e o campo magnético que eles criam no plano é perpendicular a esse plano. Com \vec v vertical, a força q\vec v\times\vec B é horizontal. Tomo x medido a partir do eixo central, com os fios em x=\pm d/2.

Correntes opostas (situações 1 e 4). Entre os fios, os campos dos dois fios têm o mesmo sentido (entrando na página) e se somam:

B(x)=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left(\frac{1}{d/2+x}+\frac{1}{d/2-x}\right)

No centro, B(0)=\dfrac{2\mu_0 i}{\pi d}\neq 0. A força é não nula já em x=0 e sempre aponta para o mesmo lado, qualquer que seja x. A partícula é desviada para um lado e não há força restauradora. Essas situações não servem.

Correntes iguais (situações 2 e 3). Entre os fios os campos têm sentidos opostos:

B(x)=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left(\frac{1}{d/2-x}-\frac{1}{d/2+x}\right)=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\frac{2x}{d^2/4-x^2}\approx \frac{4\mu_0 i}{\pi d^2}\,x

Para x>0 o campo sai da página. O campo é nulo no centro e proporcional a x.

  • Situação 2 (partícula descendo): \vec v=-v\hat y e \vec B=+kx\,\hat z, com k=\dfrac{4\mu_0 i}{\pi d^2}. Então \vec F=q\vec v\times\vec B=-qvkx\,\hat x. A força tem sinal oposto ao de x, logo é restauradora.
  • Situação 3 (partícula subindo): o sentido de \vec v se inverte e \vec F=+qvkx\,\hat x. A força afasta a partícula do centro e não é restauradora.

Só a situação 2 satisfaz a condição.

b) O campo magnético não realiza trabalho, então a velocidade escalar continua v. Para pequenas amplitudes, a componente vertical da velocidade vale aproximadamente v. Na horizontal:

m\ddot x=-qvk\,x\;\Rightarrow\;\omega^2=\frac{qvk}{m}=\frac{4\mu_0 i q v}{\pi m d^2}

Isso é um MHS horizontal enquanto a partícula avança com velocidade v na vertical. O período é T=2\pi/\omega, e em um período a partícula percorre vT na vertical:

vT=\frac{2\pi v}{\omega}=\pi d\sqrt{\frac{\pi m v}{\mu_0 i q}}

Na figura, p é a distância entre dois cruzamentos consecutivos do eixo y, que corresponde a meio período do MHS, ou seja, p=vT/2:

p=\frac{\pi d}{2}\sqrt{\frac{\pi m v}{\mu_0 i q}}

Se o passo fosse tomado como o período completo, o resultado seria o dobro, \pi d\sqrt{\pi m v/(\mu_0 i q)}.

Resposta: p=\dfrac{\pi d}{2}\sqrt{\dfrac{\pi m v}{\mu_0 i q}}

Assuntos: Força magnética, Movimento harmônico simples e pêndulos, Campo magnético: ímãs e correntes.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗