Questão 7 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Question

Figura 1: Dodecágono regular apoiado no solo com partícula P1 no vértice B e P2 presa a uma mola no vértice C
Figuras 2 e 3: detalhe do segmento inclinado BC com as partículas e a mola, e após giro com o segmento BC horizontal e a mola removida

Nas Figuras 1 e 2, a partícula \text{P}_1, positivamente carregada, é abandonada a partir do repouso no vértice B de um dodecágono regular e pode deslizar sobre o segmento BC. No vértice C, encontra-se fixado um anteparo que prende uma das extremidades de uma mola, inicialmente relaxada. Na outra extremidade da mola, foi fixada a partícula \text{P}_2, também positivamente carregada e que também pode deslizar sobre BC.

Considere que, assim que as partículas alcancem a aproximação máxima entre elas, todo o sistema será instantaneamente girado no sentido anti-horário, de 30^\circ, sem adicionar energia cinética às partículas. A partir dessa nova configuração, a mola é desacoplada do sistema e totalmente retirada do vértice C e da partícula \text{P}_2, sendo que as duas partículas passam a interagir entre si livremente. Essa situação está representada na Figura 3.

Dados:
• massas das partículas \text{P}_1 e \text{P}_2: m = 0{,}4\text{ kg};
• distância inicial entre as partículas: d_0 = 1{,}0\text{ m};
• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
• comprimento da mola relaxada: L_0 = 0{,}15\text{ m};
• carga de \text{P}_1 e carga de \text{P}_2: q_1 = +20\ \mu\text{C} e q_2 = +5\ \mu\text{C};
• constante elástica da mola: muito alta;
• constante eletrostática do vácuo: K_e = 9 \cdot 10^9\text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2.

Observações:
• todo o sistema encontra-se no vácuo;
• despreze as dimensões das partículas e do anteparo;
• como a constante elástica da mola é muito alta, despreze a variação da posição da partícula \text{P}_2 para efeitos de cálculo no movimento da partícula \text{P}_1;
• as partículas deslizam sem atrito sobre o segmento BC;
• durante o giro, as posições relativas das partículas não se alteram.

Diante do exposto:

a) na condição de aproximação máxima entre as partículas, determine a distância entre \text{P}_1 e \text{P}_2;

b) na condição de aproximação máxima entre as partículas, estime a razão aproximada entre a energia potencial elástica da mola e a variação da energia potencial gravitacional de \text{P}_2;

c) após a condição da Figura 2, determine a velocidade de P_2 ao atingir um vértice do dodecágono.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Figura 1: Dodecágono regular apoiado no solo com partícula P1 no vértice B e P2 presa a uma mola no vértice C
Figuras 2 e 3: detalhe do segmento inclinado BC com as partículas e a mola, e após giro com o segmento BC horizontal e a mola removida

Nas Figuras 1 e 2, a partícula \text{P}_1, positivamente carregada, é abandonada a partir do repouso no vértice B de um dodecágono regular e pode deslizar sobre o segmento BC. No vértice C, encontra-se fixado um anteparo que prende uma das extremidades de uma mola, inicialmente relaxada. Na outra extremidade da mola, foi fixada a partícula \text{P}_2, também positivamente carregada e que também pode deslizar sobre BC.

Considere que, assim que as partículas alcancem a aproximação máxima entre elas, todo o sistema será instantaneamente girado no sentido anti-horário, de 30^\circ, sem adicionar energia cinética às partículas. A partir dessa nova configuração, a mola é desacoplada do sistema e totalmente retirada do vértice C e da partícula \text{P}_2, sendo que as duas partículas passam a interagir entre si livremente. Essa situação está representada na Figura 3.

Dados:
• massas das partículas \text{P}_1 e \text{P}_2: m = 0{,}4\text{ kg};
• distância inicial entre as partículas: d_0 = 1{,}0\text{ m};
• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
• comprimento da mola relaxada: L_0 = 0{,}15\text{ m};
• carga de \text{P}_1 e carga de \text{P}_2: q_1 = +20\ \mu\text{C} e q_2 = +5\ \mu\text{C};
• constante elástica da mola: muito alta;
• constante eletrostática do vácuo: K_e = 9 \cdot 10^9\text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2.

Observações:
• todo o sistema encontra-se no vácuo;
• despreze as dimensões das partículas e do anteparo;
• como a constante elástica da mola é muito alta, despreze a variação da posição da partícula \text{P}_2 para efeitos de cálculo no movimento da partícula \text{P}_1;
• as partículas deslizam sem atrito sobre o segmento BC;
• durante o giro, as posições relativas das partículas não se alteram.

Diante do exposto:

a) na condição de aproximação máxima entre as partículas, determine a distância entre \text{P}_1 e \text{P}_2;

b) na condição de aproximação máxima entre as partículas, estime a razão aproximada entre a energia potencial elástica da mola e a variação da energia potencial gravitacional de \text{P}_2;

c) após a condição da Figura 2, determine a velocidade de P_2 ao atingir um vértice do dodecágono.

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Resolução comentada

a) Na aproximação máxima, \text{P}_1 pára por um instante. Pela observação do enunciado, \text{P}_2 praticamente não se desloca. Como não há atrito, a energia mecânica de \text{P}_1 se conserva: a perda de energia potencial gravitacional ao descer o plano (inclinado de 30^\circ, o ângulo externo do dodecágono) vira energia potencial elétrica.

Dados: K_e q_1 q_2 = 9\cdot10^9\cdot 20\cdot10^{-6}\cdot 5\cdot10^{-6} = 0{,}9\ \text{N·m}^2 e mg\,\sen 30^\circ = 0{,}4\cdot10\cdot0{,}5 = 2\ \text{N}.

mg\,\sen30^\circ\,(d_0-d)=K_eq_1q_2\left(\frac1d-\frac1{d_0}\right)

2(1-d)=0{,}9\,\frac{1-d}{d}

A raiz d=1\ \text{m} é a posição inicial. Cancelando (1-d), sobra 2=0{,}9/d, logo d=0{,}45\ \text{m}.

d = 0{,}45\ \text{m}

b) Nesse instante, estime \text{P}_2 em equilíbrio, com a mola comprimida de x. As forças sobre \text{P}_2 ao longo do plano são:

componente do peso, para baixo: 2\ \text{N};
repulsão elétrica, também para baixo: F_e=\dfrac{0{,}9}{0{,}45^2}\approx 4{,}44\ \text{N};
força da mola, para cima: kx.

Portanto kx = 2+4{,}44 = 6{,}44\ \text{N}.

A energia elástica é E_{el}=\tfrac12 kx\cdot x=\tfrac12(6{,}44)\,x.

A variação da energia potencial gravitacional de \text{P}_2 é \Delta E_g = mg\,\sen30^\circ\,x = 2x.

\frac{E_{el}}{\Delta E_g}=\frac{\tfrac12(6{,}44)}{2}=\frac{29}{18}\approx 1{,}6

Razão \approx 1{,}6

c) Após o giro de 30^\circ, o segmento BC fica horizontal e a mola é retirada. O comprimento de BC é d_0+L_0=1{,}15\ \text{m}. \text{P}_2 está a 0{,}15\ \text{m} de C (a compressão da mola é desprezada) e \text{P}_1 está a 0{,}45\ \text{m} de \text{P}_2. Ambas partem do repouso.

Na horizontal só atua a repulsão elétrica, que é uma força interna. Com massas iguais, a conservação do momento linear mostra que as partículas têm sempre velocidades de mesmo módulo e sentidos opostos.

Primeiro vértice atingido: \text{P}_2 chega a C depois de percorrer 0{,}15\ \text{m}, enquanto \text{P}_1 ainda está sobre o segmento, pois estava a 0{,}55\ \text{m} de B. Nesse instante, \text{P}_1 também andou 0{,}15\ \text{m}, e a distância entre elas é 0{,}45+0{,}15+0{,}15=0{,}75\ \text{m}.

Conservação da energia (as duas têm velocidade v):

K_eq_1q_2\left(\frac1{0{,}45}-\frac1{0{,}75}\right)=2\cdot\frac12 mv^2

0{,}9\cdot\frac89=0{,}8=0{,}4\,v^2\Rightarrow v^2=2

v=\sqrt2\approx1{,}4\ \text{m/s}, horizontal, no sentido do vértice C

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Força elástica e lei de Hooke, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 7 no caderno Física da 2ª fase do IME 2027

Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗