Correção IME 2027 · Português e InglêsAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Efeito Doppler

Vista lateral do movimento

Vista superior do movimento

As figuras mostram uma fonte sonora de frequência f_0 acoplada a um objeto motorizado em forma de casca esférica preso por um fio de comprimento L ao fundo de uma piscina. Tomando como referência a vista superior, o objeto executa um movimento circular uniforme no sentido anti-horário. Um observador localizado em O, na superfície da piscina, percebe as frequências 5f_0/4 e 10f_0/11 quando o objeto emite ao passar pelos pontos A e B, respectivamente.

Dados:
• massa do objeto: m = \sqrt{3}\text{ kg};
• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
• comprimento do fio: L = 10\text{ m};
• distância AO: d = 10\text{ m};
• massa específica da água: \rho = 1000\text{ kg/m}^3;
• velocidade do som no ar: v_{som} = 340\text{ m/s};
• \sqrt{3} = 1{,}732;
• \frac{34^2}{\sqrt{3}} = 667{,}4.

Observações:
• o observador está no mesmo plano que o movimento circular da fonte sonora;
• considere que o volume submerso do objeto não se altera durante o movimento;
• para efeito de cálculos desconsidere a resistência da água e as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo.

Diante do exposto, determine:

a) a velocidade escalar do objeto;

b) o raio da trajetória;

c) a tração no fio;

d) o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Na vista superior, AB é um diâmetro vertical e AO é horizontal, logo AO é tangente à circunferência em A. No sentido anti-horário, em A a velocidade aponta para a direita, ou seja, diretamente para O. Pelo efeito Doppler com fonte em aproximação:

f=f_0\frac{v_{som}}{v_{som}-v}=\frac{5f_0}{4}\Rightarrow v_{som}-v=\frac{4}{5}v_{som}\Rightarrow v=\frac{v_{som}}{5}
v=\frac{340}{5}=68\ \text{m/s}

Velocidade escalar: 68\ \text{m/s}.

b) Em B a velocidade é horizontal, para a esquerda, e a fonte se afasta de O. Só a componente da velocidade na direção BO conta. Seja \theta o ângulo entre BO e a horizontal, de modo que \cos\theta=d/\overline{BO} e \tg\theta=2R/d.

f=f_0\frac{v_{som}}{v_{som}+v\cos\theta}=\frac{10f_0}{11}\Rightarrow v\cos\theta=\frac{v_{som}}{10}=34\ \text{m/s}

Como v=68\ \text{m/s}, temos \cos\theta=\tfrac12, ou seja, \theta=60^\circ. Então:

\frac{2R}{d}=\tg 60^\circ=\sqrt3\Rightarrow R=\frac{\sqrt3\cdot 10}{2}=5\sqrt3\approx 8{,}66\ \text{m}

Raio: R=5\sqrt3\ \text{m}\approx 8{,}66\ \text{m}.

c) O fio forma com a vertical um ângulo \alpha tal que \sen\alpha=R/L=\frac{5\sqrt3}{10}=\frac{\sqrt3}{2}, ou seja, \alpha=60^\circ. Trata-se de um pêndulo cônico: a componente horizontal da tração é a resultante centrípeta (peso e empuxo são verticais).

T\sen\alpha=\frac{mv^2}{R}\Rightarrow T\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3\cdot 68^2}{5\sqrt3}=924{,}8\ \text{N}
T=\frac{1849{,}6}{\sqrt3}=1{,}6\cdot\frac{34^2}{\sqrt3}=1{,}6\cdot 667{,}4\approx 1068\ \text{N}

Tração: T\approx 1{,}07\times10^3\ \text{N}.

d) Na vertical não há aceleração. O fio prende o objeto ao fundo, então a tração puxa o objeto para baixo, junto com o peso, e o empuxo equilibra os dois:

E=mg+T\cos\alpha=10\sqrt3+1067{,}8\cdot\frac12\approx 17{,}3+533{,}9\approx 551\ \text{N}
E=\rho g V\Rightarrow V=\frac{551}{1000\cdot10}\approx 5{,}5\times10^{-2}\ \text{m}^3

Volume submerso: V\approx 5{,}5\times10^{-2}\ \text{m}^3 (cerca de 55\ \text{L}).

Assuntos: Efeito Doppler, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Empuxo e princípio de Arquimedes.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Física da 2ª fase do IME 2027

Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗