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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica

Diagramas esquemáticos das turbinas MT 1 (Empresa A) e MT 2 (Empresa B). Para a Empresa A, a turbina recebe taxa de 150 kW de fonte a 900 K, fornece 80 HP de trabalho e rejeita taxa Q para fonte a temperatura T. Para a Empresa B, a turbina MT 2 recebe 150 kW da fonte a 900 K, realiza trabalho e rejeita calor a uma taxa Q/2 para a fonte a temperatura T e outra parcela para uma fonte a 300 K.

Tendo em vista a expectativa de um aumento populacional associado à instalação de algumas unidades fabris em futuro próximo, a autoridade local de certo município conduz uma série de audiências públicas visando à aquisição de uma nova turbina, operando em um ciclo termodinâmico, para a geração de energia elétrica residencial.

A empresa A sugere um equipamento de 80 HP de potência útil, no qual calor é extraído de uma fonte quente a 900 K para o ciclo térmico, a uma taxa de 150 kW. Além disto, calor é rejeitado para uma fonte fria de temperatura não mencionada.

Uma segunda proposta, apresentada pela empresa B, recomenda a aquisição de um produto que opere em um ciclo termodinâmico “multifonte”. Nessa opção, calor é rejeitado a taxas distintas, para duas fontes frias: uma delas possui a mesma temperatura da concorrente recebendo, no entanto, metade do calor associado ao correspondente da empresa A. Já a segunda fonte encontra-se à temperatura de 300 K, recebendo certa quantidade de calor inicialmente não especificado. Ainda de acordo com o representante da empresa B, a temperatura de fonte quente e o calor recebido por seu ciclo termodinâmico são os mesmos do concorrente. O representante da empresa B argumenta que seu produto é capaz de suprir as necessidades de energia elétrica residencial de 350 unidades ao mesmo tempo, sendo ainda possível aquecer água para um posto de atendimento médico próximo, a uma taxa de 50 L por minuto, como subproduto da rejeição de calor para a fonte de 300 K.

Dados:
• 1\text{HP} = 3/4\text{ kW};
• eficiência do ciclo termodinâmico da máquina da empresa A: 80\,\% do máximo admissível;
• consumo mensal no município por residência: 240\text{ kW}\cdot\text{h} por unidade;
• calor específico da água: 4000\text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K});
• variação de temperatura da água a ser aquecida: +10\text{ K};
• número de horas em um mês: 720\text{ h};
• massa específica da água: 1\text{ kg/L}.

Considerando o ativo adicional apresentado pela proposta da empresa B, conduza uma análise termodinâmica da situação descrita e:

a) determine a temperatura da fonte fria do ciclo termodinâmico referente à empresa A;

b) avalie a taxa de calor rejeitada para a fonte fria no projeto da empresa A;

c) argumente conclusivamente se os aspectos mencionados pelo representante da empresa B são realísticos.

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Resolução comentada

a) A potência útil é W = 80\ \text{HP} = 80\cdot\frac{3}{4} = 60\ \text{kW}. A eficiência real do ciclo é

\eta = \frac{W}{Q_H} = \frac{60}{150} = 0{,}40.

Essa eficiência é 80% do máximo admissível, que é a do ciclo de Carnot entre as mesmas fontes:

\eta_{máx} = \frac{0{,}40}{0{,}80} = 0{,}50 = 1 - \frac{T}{900}.

Logo T/900 = 0{,}50, ou seja, T = 450\ \text{K}.

b) Em regime permanente, a 1ª lei dá Q_H = W + Q. Então

Q = 150 - 60 = 90\ \text{kW}.

A taxa de calor rejeitada na empresa A é Q = 90\ \text{kW}.

c) Na empresa B, a fonte a 450 K recebe Q/2 = 45\ \text{kW}. Seja Q_3 a taxa rejeitada para a fonte a 300 K.

  1. Aquecimento de água. A vazão é 50\ \text{L/min} = \frac{50}{60}\ \text{kg/s}. A taxa de calor necessária é

    Q_3 = \dot m\, c\,\Delta T = \frac{50}{60}\cdot 4000\cdot 10 \approx 3{,}33\times10^4\ \text{W} = 33{,}3\ \text{kW}.

  2. 2ª lei. O ciclo não pode ter geração de entropia negativa:

    \frac{45}{450} + \frac{Q_3}{300} - \frac{150}{900} \ge 0 \Rightarrow Q_3 \ge 20\ \text{kW}.

    Com Q_3 = 33{,}3\ \text{kW} vale 0{,}1 + 0{,}111 = 0{,}211 > 0{,}167\ \text{kW/K}. Portanto o aquecimento da água é compatível com a 2ª lei.

  3. Potência elétrica. Pela 1ª lei:

    W = 150 - 45 - 33{,}3 \approx 71{,}7\ \text{kW}.

  4. Demanda de 350 residências. Cada residência consome 240/720 = 0{,}333\ \text{kW} em média. Para 350 residências:

    P = 350\cdot 0{,}333 \approx 116{,}7\ \text{kW}.

A turbina B fornece apenas 71{,}7\ \text{kW}, o que atende cerca de 215 residências. Mesmo que não se aquecesse água, o mínimo Q_3 = 20\ \text{kW} imposto pela 2ª lei limita W a 85\ \text{kW}, ou seja, cerca de 255 residências. Isso ainda fica abaixo de 116{,}7\ \text{kW}.

Conclusão: o aquecimento de 50 L/min de água é realista, mas atender 350 residências simultaneamente viola a 1ª e a 2ª lei. A afirmação do representante da empresa B não é realista.

Assuntos: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica, Primeira lei da termodinâmica.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗