Questão 4 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Question

Figura 1: esquema do circuito elétrico composto por um gerador (1000 V, 2 Ω) em série com um fusível F e uma chave S, ligados aos nós A e B aos quais estão conectados em paralelo dois receptores, Rec1 (850 V, 1 Ω) e Rec2 (900 V, 2 Ω). Figura 2: gráfico linear do tempo de rompimento em segundos em função da razão I/I_FUSÍVEL.

A Figura 1 apresenta um gerador com força eletromotriz de 1000\text{ V} e resistência interna de 2\ \Omega que alimenta dois receptores, denominados \text{Rec}_1 e \text{Rec}_2, representados por uma força contra eletromotriz (f_{\text{cem}}) e uma resistência interna (\text{R}_{\text{int}}), dadas por:

Receptor	f_{\text{cem}}	\text{R}_{\text{int}}
\text{Rec}_1	850\text{ V}	1\ \Omega
\text{Rec}_2	900\text{ V}	2\ \Omega

O gerador é protegido por um fusível F, cuja característica de tempo de rompimento (ruptura) versus razão I/I_{\text{FUSÍVEL}} é dada pela curva, em escala linear, apresentada na Figura 2. Nela, I representa a corrente que passa pelo fusível e I_{\text{FUSÍVEL}} a corrente máxima admitida pelo fusível.

Dados:
• corrente de projeto do fusível: I_{\text{FUSÍVEL}} = 20\text{ A};
• máximo tempo durante o qual o gerador pode operar em curto-circuito sem ser danificado: 50\text{ ms}.

No instante t = 0, a chave S é fechada. Assim:

a) determine as correntes em cada receptor imediatamente após o fechamento de S;

b) verifique, com a devida justificativa, se e quando ocorrerá o rompimento do fusível nessa condição de operação;

c) supondo agora que o sistema seja reiniciado depois da condição de operação do item (a), havendo se necessário a reposição de fusível, e que haja um curto-circuito entre os pontos A e B, indicados do circuito, no momento em que a chave S é fechada, verifique se o fusível conseguirá proteger a fonte de tensão.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Geradores, receptores e leis de Kirchhoff

Figura 1: esquema do circuito elétrico composto por um gerador (1000 V, 2 Ω) em série com um fusível F e uma chave S, ligados aos nós A e B aos quais estão conectados em paralelo dois receptores, Rec1 (850 V, 1 Ω) e Rec2 (900 V, 2 Ω). Figura 2: gráfico linear do tempo de rompimento em segundos em função da razão I/I_FUSÍVEL.

A Figura 1 apresenta um gerador com força eletromotriz de 1000\text{ V} e resistência interna de 2\ \Omega que alimenta dois receptores, denominados \text{Rec}_1 e \text{Rec}_2, representados por uma força contra eletromotriz (f_{\text{cem}}) e uma resistência interna (\text{R}_{\text{int}}), dadas por:

Receptor	f_{\text{cem}}	\text{R}_{\text{int}}
\text{Rec}_1	850\text{ V}	1\ \Omega
\text{Rec}_2	900\text{ V}	2\ \Omega

O gerador é protegido por um fusível F, cuja característica de tempo de rompimento (ruptura) versus razão I/I_{\text{FUSÍVEL}} é dada pela curva, em escala linear, apresentada na Figura 2. Nela, I representa a corrente que passa pelo fusível e I_{\text{FUSÍVEL}} a corrente máxima admitida pelo fusível.

Dados:
• corrente de projeto do fusível: I_{\text{FUSÍVEL}} = 20\text{ A};
• máximo tempo durante o qual o gerador pode operar em curto-circuito sem ser danificado: 50\text{ ms}.

No instante t = 0, a chave S é fechada. Assim:

a) determine as correntes em cada receptor imediatamente após o fechamento de S;

b) verifique, com a devida justificativa, se e quando ocorrerá o rompimento do fusível nessa condição de operação;

c) supondo agora que o sistema seja reiniciado depois da condição de operação do item (a), havendo se necessário a reposição de fusível, e que haja um curto-circuito entre os pontos A e B, indicados do circuito, no momento em que a chave S é fechada, verifique se o fusível conseguirá proteger a fonte de tensão.

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Resolução comentada

a) Imediatamente após fechar S, o circuito é puramente resistivo, sem transitório. Chamo de V_{AB} a tensão entre A e B.

Gerador: V_{AB}=1000-2I.

Receptores em paralelo: I_1=\dfrac{V_{AB}-850}{1} e I_2=\dfrac{V_{AB}-900}{2}.

Como I=I_1+I_2:

V_{AB}=1000-2\left[(V_{AB}-850)+\frac{V_{AB}-900}{2}\right]

V_{AB}=3600-3V_{AB}\Rightarrow V_{AB}=900\ \text{V}

Então:

I_1=900-850=50\ \text{A},\qquad I_2=\frac{900-900}{2}=0

O \text{Rec}_2 não conduz, pois a tensão em seus terminais é igual à sua f_{\text{cem}}. Conferindo: I=\dfrac{1000-900}{2}=50\ \text{A}=I_1+I_2.

I_1=50\ \text{A} e I_2=0.

b) A corrente no fusível é I=50\ \text{A}, então:

\frac{I}{I_{\text{FUSÍVEL}}}=\frac{50}{20}=2{,}5>1

A corrente está acima da admitida, então o fusível vai romper.

Para achar quando, uso a parte inclinada da curva da Figura 2. Ela é uma reta que vai de cerca de (1{,}1;\ 3{,}8\ \text{s}) até cerca de (3{,}3;\ 0{,}1\ \text{s}). Em I/I_{\text{FUSÍVEL}}=2{,}5, a leitura do gráfico dá t\approx1{,}5\ \text{s}.

O fusível rompe cerca de 1{,}5\ \text{s} após o fechamento de S, e a corrente se anula.

Sim, o fusível rompe, em aproximadamente 1{,}5\ \text{s}.

c) Com o curto entre A e B, V_{AB}=0. A corrente no fusível fica limitada só pela resistência interna do gerador:

I=\frac{1000}{2}=500\ \text{A}

A razão é \dfrac{I}{I_{\text{FUSÍVEL}}}=\dfrac{500}{20}=25, muito além do final da curva. Para razões acima de aproximadamente 3{,}3, a curva é horizontal, com tempo de rompimento de 10^{-1}\ \text{s}=100\ \text{ms}.

Como 100\ \text{ms}>50\ \text{ms}, o gerador ficaria em curto por mais tempo do que suporta e seria danificado antes de o fusível atuar.

Não: o fusível leva cerca de 100\ \text{ms} para romper, acima dos 50\ \text{ms} admitidos, e não protege o gerador.

Assuntos: Geradores, receptores e leis de Kirchhoff, Associação de resistores.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 4 no caderno Física da 2ª fase do IME 2027

Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗