Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Question

Um foguete é lançado para atingir um alvo localizado no topo de uma montanha. O centro do alvo encontra-se a uma distância horizontal de 2{,}0\text{ km} e vertical de 1{,}0\text{ km} da plataforma de lançamento. O projeto prevê que o foguete deixe o lançador à velocidade de 200\text{ m/s}, formando um ângulo de 45^\circ com a horizontal. Nessas condições, o ponto mais alto da trajetória coincide com o centro do alvo. A temperatura de projeto da câmara de combustão do foguete é 2560\text{ K}.

Entretanto, uma falha na combustão elevou a temperatura dos gases, sem alterar o ângulo de lançamento. Em consequência, ao passar pela vertical do alvo, o foguete encontrava-se 360\text{ m} acima do alvo e ainda em movimento ascendente. Para avaliar os efeitos energéticos da falha, considere que 2{,}0\text{ kg} de gases ideais foram aquecidos, a pressão constante, desde a temperatura de projeto até a temperatura atingida.

Dados:
• aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2;
• calor específico dos gases, a pressão constante: 1{,}0\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)};
• aumento da energia interna dos gases durante a falha: 2016\ \text{kJ}.

Observações:
• admita que a temperatura absoluta da câmara de combustão seja diretamente proporcional ao quadrado da velocidade de lançamento do foguete;
• despreze a resistência do ar.

Mediante as informações acima, na condição de falha, determine:

a) a velocidade de lançamento do foguete;

b) a temperatura atingida na câmara de combustão;

c) o trabalho realizado durante o aquecimento.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Lançamento horizontal e oblíquo

Um foguete é lançado para atingir um alvo localizado no topo de uma montanha. O centro do alvo encontra-se a uma distância horizontal de 2{,}0\text{ km} e vertical de 1{,}0\text{ km} da plataforma de lançamento. O projeto prevê que o foguete deixe o lançador à velocidade de 200\text{ m/s}, formando um ângulo de 45^\circ com a horizontal. Nessas condições, o ponto mais alto da trajetória coincide com o centro do alvo. A temperatura de projeto da câmara de combustão do foguete é 2560\text{ K}.

Entretanto, uma falha na combustão elevou a temperatura dos gases, sem alterar o ângulo de lançamento. Em consequência, ao passar pela vertical do alvo, o foguete encontrava-se 360\text{ m} acima do alvo e ainda em movimento ascendente. Para avaliar os efeitos energéticos da falha, considere que 2{,}0\text{ kg} de gases ideais foram aquecidos, a pressão constante, desde a temperatura de projeto até a temperatura atingida.

Dados:
• aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2;
• calor específico dos gases, a pressão constante: 1{,}0\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)};
• aumento da energia interna dos gases durante a falha: 2016\ \text{kJ}.

Observações:
• admita que a temperatura absoluta da câmara de combustão seja diretamente proporcional ao quadrado da velocidade de lançamento do foguete;
• despreze a resistência do ar.

Mediante as informações acima, na condição de falha, determine:

a) a velocidade de lançamento do foguete;

b) a temperatura atingida na câmara de combustão;

c) o trabalho realizado durante o aquecimento.

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Resolução comentada

a) Escreva a velocidade de lançamento como v, com componentes iguais, v_x=v_y=u=v/\sqrt2, porque o ângulo é de 45^\circ.

O foguete passa pela vertical do alvo em x=2000\ \text{m}, no instante t=2000/u. Nesse instante ele está 360\ \text{m} acima do alvo, ou seja, a y=1000+360=1360\ \text{m} de altura.

y=u\,t-5t^2=2000-\frac{5\cdot(2000)^2}{u^2}=2000-\frac{2\times10^7}{u^2}

Igualando a 1360:

\frac{2\times10^7}{u^2}=640\ \Rightarrow\ u^2=31250\ \text{m}^2/\text{s}^2

v^2=2u^2=62500\ \Rightarrow\ v=250\ \text{m/s}

Conferência: u\approx176{,}8\ \text{m/s} e t\approx11{,}3\ \text{s}, então v_y=176{,}8-113{,}1\approx63{,}7\ \text{m/s}>0. O foguete ainda sobe, como diz o enunciado.

v=250\ \text{m/s}

b) Como T\propto v^2, a razão entre as temperaturas é a razão entre os quadrados das velocidades:

T=2560\left(\frac{250}{200}\right)^2=2560\cdot1{,}5625=4000\ \text{K}

T=4000\ \text{K}

c) O aquecimento ocorre a pressão constante, de 2560\ \text{K} a 4000\ \text{K}, logo \Delta T=1440\ \text{K}.

O calor recebido é:

Q=mc_p\Delta T=2{,}0\cdot1{,}0\cdot1440=2880\ \text{kJ}

Pela 1ª Lei da Termodinâmica, Q=\Delta U+W. Com \Delta U=2016\ \text{kJ}:

W=Q-\Delta U=2880-2016=864\ \text{kJ}

O trabalho é positivo: é realizado pelos gases, que se expandem.

W=864\ \text{kJ}

Assuntos: Lançamento horizontal e oblíquo, Primeira lei da termodinâmica.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 1 no caderno Física da 2ª fase do IME 2027

Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗