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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do IME 2027

Física · Física: Equilíbrio do ponto material

Estrutura esquemática de uma treliça de guindaste sobre apoios fixos em A e B. A distância horizontal entre o ponto de aplicação da carga C e a linha vertical AD é de 3 m, e entre AD e a linha vertical BE é de 3 m. Verticalmente, a distância entre a linha horizontal AB e a linha horizontal CDE é de 4 m, e entre a linha CDE e o vértice superior F é de 4 m. No nó C, atua uma força vertical para baixo P.

A figura representa esquematicamente um guindaste em equilíbrio quando está sendo aplicada uma força P na junção C.

Dado:
• força vertical para baixo aplicada em C: P = 100\ \text{kN}.

Observação:
• despreze os pesos das barras do guindaste.

Para esse guindaste:

a) determine as reações (módulo, direção e sentido) em A e B;

b) determine os esforços normais nas barras da estrutura (CD, CF, DF, AD, AE, DE, BE e EF), discriminando também se são de tração ou de compressão;

c) explique a função da barra AE.

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Resolução comentada

Coloque a origem em A: A(0;0), B(3;0), D(0;4), E(3;4), C(-3;4) e F(0;8). As barras CF e EF medem \sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{m}, então seus cossenos diretores são 0{,}6 (horizontal) e 0{,}8 (vertical).

a) A barra BE só recebe força nas duas extremidades (no apoio B e no nó E), por isso é uma barra de duas forças. A reação em B tem a direção da barra, ou seja, é vertical, e B_x=0.

Momentos em relação a A (anti-horário positivo):

3\,B_y + 3\cdot(-100)\cdot(-1)=0 \Rightarrow 3B_y+300=0 \Rightarrow B_y=-100\ \text{kN}

O sinal negativo indica que B puxa a estrutura para baixo.

Somando as forças horizontais, A_x+B_x=0, logo A_x=0.

Somando as forças verticais, A_y+B_y-100=0, logo A_y=200\ \text{kN}, para cima.

Em A: 200 kN, vertical, para cima. Em B: 100 kN, vertical, para baixo.

b) Use o método dos nós, supondo todas as barras tracionadas. Resultado negativo significa compressão.

  1. Nó C. F_y: 0{,}8\,N_{CF}-100=0, então N_{CF}=125\ \text{kN} (tração). F_x: 0{,}6\cdot125+N_{CD}=0, então N_{CD}=-75\ \text{kN} (compressão).
  2. Nó F. F_x: -0{,}6\cdot125+0{,}6\,N_{EF}=0, então N_{EF}=125\ \text{kN} (tração). F_y: -0{,}8\cdot125-0{,}8\cdot125-N_{DF}=0, então N_{DF}=-200\ \text{kN} (compressão).
  3. Nó E. A barra BE puxa E para baixo com 100 kN, o que dá N_{BE}=100\ \text{kN} (tração). F_y: 0{,}8\cdot125-100-0{,}8\,N_{AE}=0, então N_{AE}=0. F_x: -0{,}6\cdot125-N_{DE}=0, então N_{DE}=-75\ \text{kN} (compressão).
  4. Nó D. Na vertical, -N_{AD}-(-200)\cdot(-1) leva a N_{AD}=-200\ \text{kN} (compressão). A horizontal fecha com 75-75=0.
  5. Conferência no nó A. A barra AD comprimida empurra A para baixo com 200 kN, equilibrada pela reação A_y=200\ \text{kN}. Está consistente.

CD = 75 kN (compressão); CF = 125 kN (tração); DF = 200 kN (compressão); AD = 200 kN (compressão); AE = 0; DE = 75 kN (compressão); BE = 100 kN (tração); EF = 125 kN (tração).

c) Para esta carga, AE não tem esforço (é uma barra de força nula). Mesmo assim ela é necessária: sem AE, o quadrilátero ADEB, com o solo como lado AB, seria um mecanismo articulado, que se deformaria ao menor desvio.

A barra AE forma triângulos (ADE e AEB) e torna esse trecho indeformável. Ela também absorveria esforço se a carga mudasse de posição ou de direção, por exemplo com uma componente horizontal.

AE é uma barra de travamento (contraventamento): garante a rigidez e a estabilidade da estrutura, embora para esta carga seu esforço seja nulo.

Assuntos: Equilíbrio do ponto material, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗