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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Física · Física: Reflexão da luz e espelhos planos

Vista lateral de dois cilindros coaxiais e vista superior mostrando a secção circular com raio interno r e externo R, com feixe partindo de A até B sob ângulo theta com a normal tracejada

Vista lateral \qquad\qquad\qquad\qquad Vista superior

Sejam dois cilindros coaxiais de raios R e r, com R > r. O cilindro de raio R tem sua superfície interna espelhada, enquanto a superfície externa do cilindro de raio r também é espelhada.

Um feixe estreito de luz se propaga entre os espelhos em um plano perpendicular ao eixo dos cilindros. O feixe luminoso parte do ponto A, é refletido no ponto B e, a partir daí, continua sua trajetória entre os espelhos.

Considerando que o sistema esteja ajustado à razão r/R = \sqrt{3}/2 para que haja n pontos de reflexão em cada espelho, onde n \in \mathbb{N}, e que os raios se sobrepõem após uma volta, calcule:

a) a expressão de \tan \theta em função de n.

b) os valores possíveis de n.

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Resolução comentada

a) Seja O o eixo comum dos cilindros. No triângulo OAB temos OA=R e OB=r. O ângulo de incidência em B é \theta, medido entre o raio BA e a normal, que é o prolongamento do raio OB. Logo, o ângulo interno do triângulo em B vale 180^\circ-\theta.

Chame de \alpha o ângulo central A\hat{O}B. O ângulo em A vale então \theta-\alpha, pois a soma dos ângulos internos é 180^\circ.

Pela simetria da reflexão, o trecho BA' (de B até o próximo ponto A' do espelho externo) é congruente a AB. Assim, cada trecho do feixe avança o mesmo ângulo \alpha em torno de O.

São n pontos de reflexão em cada espelho, ou seja, 2n trechos até a sobreposição após uma volta completa:

2n\alpha=2\pi \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{n}

A lei dos senos no triângulo OAB dá:

\frac{r}{\sen(\theta-\alpha)}=\frac{R}{\sen\theta}\Rightarrow \sen(\theta-\alpha)=\frac{r}{R}\sen\theta=\frac{\sqrt3}{2}\sen\theta

Desenvolvendo o seno da diferença:

\sen\theta\cos\alpha-\cos\theta\sen\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\sen\theta

Dividindo por \cos\theta:

\tg\theta\left(\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\sen\alpha
\boxed{\tg\theta=\dfrac{\sen(\pi/n)}{\cos(\pi/n)-\frac{\sqrt3}{2}}}

\tg\theta=\dfrac{\sen(\pi/n)}{\cos(\pi/n)-\sqrt3/2}

b) O ângulo de incidência \theta deve ser agudo, com 0<\theta<90^\circ, para que o feixe atinja o cilindro interno e seja refletido. Portanto \tg\theta>0.

Como \sen(\pi/n)>0 para n\ge2, é preciso que o denominador seja positivo:

\cos\frac{\pi}{n}>\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{6}\Rightarrow n>6

Se n=6, o denominador se anula e \theta=90^\circ. O raio é então tangente ao espelho interno, o que não é uma reflexão. Se n<6, a tangente fica negativa, o que é impossível.

Portanto n é qualquer inteiro maior que 6, sem limite superior. Quanto maior o n, menor o \theta.

n\in\mathbb{N} com n\ge 7

Assunto: Reflexão da luz e espelhos planos.

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Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do IME 2026

Fonte: IME 2ª fase 2026 · Física. Prova oficial ↗