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Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Física · Física: Força elétrica e lei de Coulomb

Partícula fixa com carga -Q no topo de onde parte uma haste que sustenta uma partícula de massa m e carga +q, a qual descreve uma trajetória circular horizontal de raio r a uma profundidade vertical h. A aceleração da gravidade aponta para baixo.

A figura mostra uma partícula de massa m eletricamente carregada com carga +q que realiza um movimento circular uniforme. Na reta normal ao plano da trajetória da partícula, passando pelo seu centro, está fixada outra partícula a uma altura h, de carga -Q. Ambas as partículas são unidas por uma haste.

Dados:

• massa da partícula: m = 1{,}25\text{ kg};
• carga da partícula em movimento: q = 200\ \mu\text{C};
• carga da partícula fixa.: -Q = -500\ \mu\text{C};
• altura da partícula fixa: h = 3\text{ m};
• constante elétrica do meio: 9 \times 10^9\ \text{C}^{-2}\text{m}^2\text{N};
• aceleração da gravidade: 10\text{ m/s}^2.

Observação:

• durante o movimento, a haste que une as duas partículas está com tensão/compressão nula.

A partir dos dados listados, determine:

a) o ângulo resultante entre a haste e a normal ao plano da trajetória;

b) a velocidade angular da partícula em movimento.

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Resolução comentada

a) A haste não tem tensão nem compressão. Sobre a partícula de massa m atuam, então, só o peso e a força elétrica. A força elétrica é de atração, porque as cargas têm sinais opostos, e age ao longo da haste, apontando para a carga fixa.

Seja \theta o ângulo da haste com a vertical (a normal ao plano da trajetória). O comprimento da haste é L=\dfrac{h}{\cos\theta}.

A aceleração é horizontal, apontando para o centro da trajetória. Logo, na vertical a resultante é nula:

F\cos\theta = mg, \qquad F=\frac{kQq}{L^2}=\frac{kQq\cos^2\theta}{h^2}

Substituindo:

kQq = 9\times10^9\cdot 500\times10^{-6}\cdot 200\times10^{-6}=900\ \text{N·m}^2
\frac{900\cos^3\theta}{9}=1{,}25\cdot10 \;\Rightarrow\; 100\cos^3\theta=12{,}5 \;\Rightarrow\; \cos^3\theta=\frac18 \;\Rightarrow\; \cos\theta=\frac12

Portanto \theta=60^\circ.

Conferindo: L=6\ \text{m} e F=900/36=25\ \text{N}. Então F\cos 60^\circ=12{,}5\ \text{N}=mg, como esperado.

Ângulo: 60^\circ.

b) Na horizontal, a componente da força elétrica é a resultante centrípeta:

F\,\sen\theta = m\omega^2 r

O raio da trajetória é r=h\,\tg\theta. Dividindo essa equação pela equação vertical F\cos\theta=mg, obtém-se:

\tg\theta=\frac{\omega^2 r}{g}=\frac{\omega^2 h\,\tg\theta}{g}\;\Rightarrow\;\omega^2=\frac{g}{h}=\frac{10}{3}

Verificação numérica: r=3\sqrt3\ \text{m}. Então F\sen60^\circ=25\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12{,}5\sqrt3\ \text{N} e m\omega^2 r=1{,}25\cdot\frac{10}{3}\cdot3\sqrt3=12{,}5\sqrt3\ \text{N}.

\omega=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1{,}83\ \text{rad/s}

\omega=\sqrt{10/3}\ \text{rad/s}\approx1{,}8\ \text{rad/s}

Assuntos: Força elétrica e lei de Coulomb, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗