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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Física · Física: Lançamento horizontal e oblíquo

Ilustração esquemática mostrando, da esquerda para a direita sobre uma superfície horizontal plana: um blindado inimigo de altura h, a lente do observador indicada por uma flecha vertical de duas pontas, um morro de altura H até o pico, com distância horizontal L entre a lente e a linha vertical do pico do morro, e um morteiro inclinado à direita do morro, a uma distância horizontal D da linha do pico do morro.

Um sistema automático de defesa contra um determinado tipo de blindado inimigo é instalado próximo a um morro, como mostra a figura. Nesse sistema, um observador comanda o disparo de um morteiro que se encontra escondido atrás desse mesmo morro, com base na imagem do blindado obtida através de uma lente convergente especial. O observador realiza duas medidas do tamanho da imagem do blindado em instantes diferentes e utiliza esses valores para calcular o instante de disparo do morteiro.

Dados:

• distância focal da lente do observador: f = 50\text{ m};

• altura do morro: H = 320\text{ m};

• altura do blindado inimigo: h = 2{,}7\text{ m};

• distância horizontal entre a lente e o topo do morro: L = 110\text{ m};

• velocidade de disparo do projétil: v_0 = 100\text{ m/s};

• intervalo de tempo entre as medidas dos tamanhos das imagens: \Delta t = 25\text{ s};

• tamanho da primeira medida da imagem invertida: i_1 = 5{,}40\text{ cm};

• tamanho da segunda medida da imagem invertida: i_2 = 6{,}75\text{ cm};

• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}.

Observações:

• o blindado e o morteiro estão na mesma horizontal;

• para efeito de cálculo do ponto de impacto do projétil, use o chão como referência.

Sabendo que o blindado se desloca com velocidade constante em direção à lente do observador e que o projétil atirado pelo morteiro atinge seu ponto máximo na trajetória exatamente no pico do morro, determine:

a) a que distância horizontal D do pico do morro o morteiro deve ser posicionado;

b) as distâncias entre o blindado e a lente nos momentos das duas medidas;

c) a velocidade do blindado;

d) o intervalo de tempo depois da segunda medida de imagem para que o disparo seja realizado e possa atingir o blindado.

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Resolução comentada

a) O projétil atinge a altura máxima exatamente no pico do morro. Nesse ponto v_y=0, então:

v_{0y}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 320}=80\ \text{m/s}

Como v_0=100\ \text{m/s}, a componente horizontal é v_x=\sqrt{100^2-80^2}=60\ \text{m/s}.

O tempo de subida é t_s=v_{0y}/g=8\ \text{s}. Nesse tempo o projétil percorre horizontalmente a distância D:

D=v_x\,t_s=60\cdot 8=480\ \text{m}

D=480\ \text{m}

b) Para a lente convergente, a imagem é real e invertida, e o aumento em módulo é \dfrac{i}{h}=\dfrac{p'}{p}. Com \dfrac1f=\dfrac1p+\dfrac1{p'}, isso dá \dfrac{i}{h}=\dfrac{f}{p-f}, ou seja, p=f+\dfrac{f\,h}{i}.

  1. Primeira medida: \dfrac{i_1}{h}=\dfrac{0{,}0540}{2{,}7}=0{,}02, logo p_1-f=\dfrac{50}{0{,}02}=2500\ \text{m} e p_1=2550\ \text{m}.
  2. Segunda medida: \dfrac{i_2}{h}=\dfrac{0{,}0675}{2{,}7}=0{,}025, logo p_2-f=\dfrac{50}{0{,}025}=2000\ \text{m} e p_2=2050\ \text{m}.

p_1=2550\ \text{m} e p_2=2050\ \text{m}

c) O blindado se aproximou 2550-2050=500\ \text{m} em \Delta t=25\ \text{s}:

v=\frac{500}{25}=20\ \text{m/s}

v=20\ \text{m/s}

d) Tome a lente como origem, com o blindado à esquerda. O pico do morro está em x=110\ \text{m} e o morteiro em x=110+480=590\ \text{m}.

O projétil sobe 8 s e desce 8 s, num voo total de T=16\ \text{s}. O alcance horizontal é 60\cdot16=960\ \text{m}, em direção à lente. O ponto de impacto, no chão, fica em x=590-960=-370\ \text{m}, ou seja, a 370\ \text{m} da lente, do lado do blindado.

Na segunda medida o blindado está em x=-2050\ \text{m}. Até chegar ao ponto de impacto ele percorre 2050-370=1680\ \text{m}, o que leva:

t=\frac{1680}{20}=84\ \text{s}\ \text{após a 2ª medida}

O projétil precisa chegar nesse instante e voa por 16 s. Portanto o disparo deve ocorrer em:

84-16=68\ \text{s}

Disparo 68\ \text{s} após a segunda medida.

Assuntos: Lançamento horizontal e oblíquo, Lentes esféricas.

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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗