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Questão 4 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Física · Física: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica

O interior de um refrigerador hospitalar para armazenagem de medicamentos deve ser continuamente mantido a uma temperatura de 2 °C. Este equipamento possui três portas envidraçadas para acesso aos fármacos, sendo por isso afetado pelo calor ambiente. Além disso, estima-se que os outros ganhos térmicos pelas demais superfícies são equivalentes a 20% daquele associado ao total das três portas.

A superintendência do hospital contratou uma empresa para elaborar o projeto de um sistema alternativo de fornecimento de energia elétrica, em caso de interrupção do serviço pela concessionária local. Após estudo, o técnico responsável pelo projeto afirmou que:

“A potência de acionamento do refrigerador hospitalar é suprida com folga por um motor térmico operando em um ciclo termodinâmico que possui as seguintes características: o motor recebe energia de uma fonte, cuja temperatura é 327 °C, e rejeita energia para outras duas fontes. Uma dessas fontes se encontra à temperatura externa ao refrigerador e recebe 450 W, enquanto a outra deve estar a uma temperatura de 127 °C, recebendo 300 W.”

Dados:

  • condutividade térmica do vidro: 0{,}85\text{ W}.(\text{m}.{^\circ}\text{C})^{-1};
  • espessura do vidro: 25 mm;
  • temperatura do ambiente externo ao refrigerador: 27 °C;
  • coeficiente de desempenho do refrigerador: \frac{3}{11} do máximo admissível do ciclo de Carnot associado; e
  • dimensões de cada porta de vidro: 2 m (altura) x 50 cm (largura).

A partir de uma análise termodinâmica da situação, explique, de forma justificada, se a afirmação do técnico é correta.

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Resolução comentada

a) A afirmação pede duas coisas: a potência que o refrigerador consome e a potência que o motor pode fornecer no máximo. Comparamos as duas.

Potência exigida pelo refrigerador

O interior está a 2\ ^\circ\text{C} = 275\ \text{K} e o ambiente a 27\ ^\circ\text{C} = 300\ \text{K}.

  1. Área das três portas: A = 3\times(2\times0{,}5) = 3\ \text{m}^2.
  2. Calor que entra pelo vidro (condução):
    Q_{portas}=\frac{kA\Delta T}{L}=\frac{0{,}85\cdot 3\cdot 25}{0{,}025}=2550\ \text{W}
  3. As demais superfícies acrescentam 20%, então o calor total a retirar é Q_F = 1{,}2\cdot 2550 = 3060\ \text{W}.
  4. O COP de Carnot é \dfrac{T_F}{T_Q-T_F}=\dfrac{275}{25}=11. O COP real é \frac{3}{11}\cdot 11 = 3.
  5. A potência de acionamento é
    P=\frac{Q_F}{COP}=\frac{3060}{3}=1020\ \text{W}

Potência máxima do motor

A fonte quente está a 327\ ^\circ\text{C}=600\ \text{K}. As fontes frias estão a 300\ \text{K} (ambiente, recebe 450 W) e a 127\ ^\circ\text{C}=400\ \text{K} (recebe 300 W).

Pela 2ª lei, a variação de entropia do universo em um ciclo não pode ser negativa:

\frac{450}{300}+\frac{300}{400}-\frac{Q_H}{600}\ge 0 \;\Rightarrow\; Q_H\le 600\cdot 2{,}25 = 1350\ \text{W}

Pela 1ª lei, W = Q_H - (450+300) = Q_H - 750. Portanto

W_{max}=1350-750=600\ \text{W}

Conclusão

O motor, mesmo sendo reversível (caso ideal), fornece no máximo 600 W. O refrigerador precisa de 1020 W. Como 600\ \text{W}<1020\ \text{W}, o motor não supre a demanda, e menos ainda "com folga".

A afirmação do técnico está incorreta: o motor entrega no máximo 600 W, menos que os 1020 W exigidos.

Assuntos: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica, Propagação de calor: condução, convecção e irradiação.

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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗