Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Question

Circuito elétrico em rede infinita com simetria concêntrica quadrada, composto por resistores e capacitores. No nó central há um potencial V, com resistores de valor R, R/2, R/4, R/8 decrescendo para as camadas externas, e capacitores de capacitância C conectados entre os nós das sucessivas camadas.

O circuito da figura acima possui potencial V > 0 em seu nó central. Esse circuito estende-se em direção ao infinito, com suas resistências sendo reduzidas à metade, gradativamente, e as capacitâncias todas iguais a C. Enquanto isso, o potencial vai se reduzindo também em direção ao infinito até atingir o valor nulo.

Considerando um tempo infinito de funcionamento do circuito, determine a energia total armazenada nos capacitores.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Capacitores

Circuito elétrico em rede infinita com simetria concêntrica quadrada, composto por resistores e capacitores. No nó central há um potencial V, com resistores de valor R, R/2, R/4, R/8 decrescendo para as camadas externas, e capacitores de capacitância C conectados entre os nós das sucessivas camadas.

O circuito da figura acima possui potencial V > 0 em seu nó central. Esse circuito estende-se em direção ao infinito, com suas resistências sendo reduzidas à metade, gradativamente, e as capacitâncias todas iguais a C. Enquanto isso, o potencial vai se reduzindo também em direção ao infinito até atingir o valor nulo.

Considerando um tempo infinito de funcionamento do circuito, determine a energia total armazenada nos capacitores.

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Resolução comentada

a)

No regime permanente (tempo infinito) os capacitores estão carregados e não passam corrente. Por isso os potenciais dos nós são determinados só pela rede de resistores, e cada capacitor armazena \frac{1}{2}C(\Delta V)^2.

Simetria. Os quatro vértices de cada quadrado têm o mesmo potencial V_n. Logo, nenhuma corrente passa pelos resistores dos lados. Os nós intermediários de cada lado, que só se ligam por resistores e capacitores, ficam com o mesmo potencial V_n dos vértices desse quadrado. Só os resistores das diagonais conduzem corrente, e cada nível tem 4 deles em paralelo.

Resistência da "escada" diagonal. Cada camada equivale a \frac{R}{4},\ \frac{R}{8},\ \frac{R}{16},\dots, em série:

R_{eq}=\frac{R}{4}\left(1+\frac12+\frac14+\dots\right)=\frac{R}{4}\cdot 2=\frac{R}{2}

A corrente total é I=\dfrac{V}{R/2}=\dfrac{2V}{R}.

Potenciais. A queda de tensão na camada n é:

n=1: I\cdot\frac{R}{4}=\frac{V}{2}
n=2: I\cdot\frac{R}{8}=\frac{V}{4}
e assim por diante, com queda \frac{V}{2^n} na camada n.

Logo V_n=\dfrac{V}{2^n}, que tende a zero no infinito, como o enunciado pede.

Capacitores. Cada vértice do quadrado n liga-se por 2 capacitores a nós do lado do quadrado n+1. Isso dá 4\times2=8 capacitores por camada, todos com tensão:

V_n-V_{n+1}=\frac{V}{2^{n+1}}

A energia da camada n é:

E_n=8\cdot\frac12 C\left(\frac{V}{2^{n+1}}\right)^2=\frac{CV^2}{4^n}

Soma das camadas. É uma PG de razão 1/4:

E=CV^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n}=CV^2\cdot\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{CV^2}{3}

Energia total armazenada: E=\dfrac{CV^2}{3}

Assuntos: Capacitores, Associação de resistores.

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Questão 5 no caderno Física da 2ª fase do IME 2019

Fonte: IME 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗