Questão 67 da FUVEST 2027

Question

Duas casas de um tabuleiro no formato de um triângulo equilátero, subdividido em 36 triângulos equiláteros, são pintadas de amarelo. Para que duas pinturas sejam consideradas equivalentes, uma deverá ser obtida a partir da outra por uma rotação de 120^\circ em relação ao encontro das bissetrizes, conforme ilustrado nas imagens a seguir:

Dois triângulos equiláteros divididos em 36 triângulos menores, com linhas vermelhas partindo do encontro das bissetrizes em direção aos vértices. No triângulo da esquerda, duas casas estão pintadas de amarelo; no triângulo da direita, o padrão correspondente aparece rotacionado em 120 graus no sentido horário.

Considerando as imagens apresentadas, quantas pinturas não equivalentes existem?

A
210
B
315
C
420
D
630
E
1260

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 67 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Duas casas de um tabuleiro no formato de um triângulo equilátero, subdividido em 36 triângulos equiláteros, são pintadas de amarelo. Para que duas pinturas sejam consideradas equivalentes, uma deverá ser obtida a partir da outra por uma rotação de 120^\circ em relação ao encontro das bissetrizes, conforme ilustrado nas imagens a seguir:

Dois triângulos equiláteros divididos em 36 triângulos menores, com linhas vermelhas partindo do encontro das bissetrizes em direção aos vértices. No triângulo da esquerda, duas casas estão pintadas de amarelo; no triângulo da direita, o padrão correspondente aparece rotacionado em 120 graus no sentido horário.

Considerando as imagens apresentadas, quantas pinturas não equivalentes existem?

A
210
B
315
C
420
D
630
E
1260

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Resolução comentada

Um triângulo equilátero dividido em 36 triângulos menores tem lado dividido em 6 partes (6^2=36). A rotação de 120^\circ em torno do centro leva o tabuleiro nele mesmo, e as pinturas são equivalentes se uma sai da outra por essa rotação. Isso pede o lema de Burnside: o número de pinturas não equivalentes é a média de pinturas fixadas por cada rotação do grupo (rotações de 0^\circ, 120^\circ e 240^\circ).

Rotação de 0^\circ (identidade): todas as pinturas ficam fixas, ou seja, \binom{36}{2}=\dfrac{36\cdot 35}{2}=630.
Rotações de 120^\circ e 240^\circ: uma pintura só fica fixa se o conjunto das duas casas pintadas for levado nele mesmo. As casas se agrupam em órbitas de 3 triângulos, pois nenhum triângulo pequeno fica parado: o centro é um vértice da malha, não o centro de um triângulo pequeno. Assim, um conjunto de 2 casas não pode ser unido de órbitas de tamanho 3, e nenhuma pintura fica fixa: 0 para cada uma.
Média:

\frac{630+0+0}{3}=210

Conferindo: as 36 casas formam 12 órbitas de 3 casas, cada pintura de 2 casas tem órbita de tamanho 3, e 630/3=210.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana por ser o total de pinturas sem considerar a equivalência; E surge ao contar pares ordenados.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem justificativa; não resulta de dividir 630 por nenhum número associado ao grupo de rotações.
CEquivale a 630\cdot 2/3, ignorando que cada classe de equivalência tem 3 pinturas.
DConta todas as pinturas \binom{36}{2} sem identificar as equivalentes por rotação.
EUsa 36\cdot35=1260, contando pares ordenados, e não divide pelas rotações.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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