Questão 32 da FUVEST 2027

Question

Em um campeonato de cartas, foi adotado o seguinte sistema de pontuação: quem vence a primeira rodada ganha 1 ponto e, a partir da segunda rodada, a pontuação é o triplo daquela da rodada anterior. Desse modo, o vencedor da primeira rodada ganha 1 ponto, o vencedor da segunda ganha 3 pontos, quem vencer na terceira ganha 9, e assim até o final do campeonato. O jogador pontua somente se vencer a rodada.

Considerando que um jogador acumulou 820 pontos durante todo o campeonato, quantas rodadas ele ganhou?

A
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B
3
C
4
D
5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

Em um campeonato de cartas, foi adotado o seguinte sistema de pontuação: quem vence a primeira rodada ganha 1 ponto e, a partir da segunda rodada, a pontuação é o triplo daquela da rodada anterior. Desse modo, o vencedor da primeira rodada ganha 1 ponto, o vencedor da segunda ganha 3 pontos, quem vencer na terceira ganha 9, e assim até o final do campeonato. O jogador pontua somente se vencer a rodada.

Considerando que um jogador acumulou 820 pontos durante todo o campeonato, quantas rodadas ele ganhou?

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

As rodadas valem 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,\dots, ou seja, potências de 3: a rodada k vale 3^{k-1}. O jogador soma 820 pontos com rodadas distintas, e cada rodada só pode ser contada uma vez.

O problema equivale a escrever 820 na base 3, em que cada algarismo indica quantas vezes aquela potência é usada. Como cada rodada é vencida no máximo uma vez, os algarismos devem ser 0 ou 1. Vamos conferir.

A maior potência que cabe em 820 é 729. Resto: 820-729=91.
A maior potência que cabe em 91 é 81. Resto: 91-81=10.
A maior potência que cabe em 10 é 9. Resto: 10-9=1.
Resto 1=3^0. Resto: 0.

Assim:

820=729+81+9+1=3^6+3^4+3^2+3^0

Os algarismos em base 3 são todos 0 ou 1 (10101 01 → 1010101_3), então a decomposição é possível e única. Isso mostra que o jogador venceu 4 rodadas: a 1ª, a 3ª, a 5ª e a 7ª.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só duas parcelas; 729 + 81 = 810 não chega a 820.
BCom três rodadas não se obtém 820; faltariam as parcelas 9 e 1 juntas.
DExigiria cinco potências distintas de 3 somando 820, mas a decomposição única tem só quatro.
ESeis rodadas dariam outra soma; a decomposição de 820 não tem seis parcelas.

Assunto: Progressão geométrica.

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