Questão 31 da FUVEST 2027

Question

Um telhado simétrico de duas águas foi construído em uma casa de 12 m de frente por 20 m de profundidade. A inclinação das telhas em relação à linha que passa pelas paredes é de 17,6%. Inclinação (i\%) em termos de porcentagem é comum na área de construção civil e é calculada da seguinte forma: i = \frac{x}{y} \cdot 100, em que x é uma distância vertical e y a respectiva distância horizontal, conforme imagens a seguir:

Duas ilustrações de uma casa: na parte superior, a perspectiva da casa mostrando o telhado de duas águas com uma seta indicando a cumeeira; na parte inferior, a visão frontal da casa com indicação da largura de 12 m e um triângulo retângulo em vermelho no telhado destacando os catetos y (horizontal) e x (vertical), além do ângulo de inclinação i%.

Com o passar do tempo, em dias de fortes chuvas, a casa começou a apresentar infiltrações no telhado. Um técnico foi chamado para tentar resolver o problema e constatou que, para o tipo específico de telhas utilizado na construção, a inclinação estava incorreta. Desse modo, uma solução para resolver o problema das infiltrações é aumentar a inclinação do telhado para 25^\circ.

Considerando essa solução, em quantos metros, aproximadamente, a cumeeira deverá se elevar, em relação à altura anterior, com essa mudança na inclinação do telhado?

A
0,44
B
1,06
C
1,76
D
2,82
E
2,94

Note e adote:

sen25^\circ \cong 0{,}42;\ cos25^\circ \cong 0{,}91;\ \text{tg } 25 \cong 0{,}47

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um telhado simétrico de duas águas foi construído em uma casa de 12 m de frente por 20 m de profundidade. A inclinação das telhas em relação à linha que passa pelas paredes é de 17,6%. Inclinação (i\%) em termos de porcentagem é comum na área de construção civil e é calculada da seguinte forma: i = \frac{x}{y} \cdot 100, em que x é uma distância vertical e y a respectiva distância horizontal, conforme imagens a seguir:

Duas ilustrações de uma casa: na parte superior, a perspectiva da casa mostrando o telhado de duas águas com uma seta indicando a cumeeira; na parte inferior, a visão frontal da casa com indicação da largura de 12 m e um triângulo retângulo em vermelho no telhado destacando os catetos y (horizontal) e x (vertical), além do ângulo de inclinação i%.

Com o passar do tempo, em dias de fortes chuvas, a casa começou a apresentar infiltrações no telhado. Um técnico foi chamado para tentar resolver o problema e constatou que, para o tipo específico de telhas utilizado na construção, a inclinação estava incorreta. Desse modo, uma solução para resolver o problema das infiltrações é aumentar a inclinação do telhado para 25^\circ.

Considerando essa solução, em quantos metros, aproximadamente, a cumeeira deverá se elevar, em relação à altura anterior, com essa mudança na inclinação do telhado?

A
0,44
B
1,06
C
1,76
D
2,82
E
2,94

Note e adote:

sen25^\circ \cong 0{,}42;\ cos25^\circ \cong 0{,}91;\ \text{tg } 25 \cong 0{,}47

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A frente da casa tem 12 m e o telhado é simétrico, então a cumeeira fica no meio: a distância horizontal do triângulo destacado é y = 6\ \text{m} (a profundidade de 20 m não influencia).

A inclinação é i = \frac{x}{y}\cdot 100, ou seja, x/y é a tangente do ângulo do telhado.

Situação inicial: i = 17{,}6\%, logo \frac{x}{y} = 0{,}176 e

x_1 = 0{,}176 \cdot 6 = 1{,}056\ \text{m}
Situação nova: o ângulo passa a ser 25^\circ, então \text{tg}\,25^\circ = \frac{x_2}{6} e

x_2 = 0{,}47 \cdot 6 = 2{,}82\ \text{m}
Elevação da cumeeira:

x_2 - x_1 = 2{,}82 - 1{,}056 \approx 1{,}76\ \text{m}

Cuidado: a inclinação de 17,6% é uma razão (tangente), não um ângulo; por isso a conta é direta, sem precisar de arco tangente.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula só a nova altura (2,82 m) e esquece de subtrair a altura anterior; a B é a altura antiga.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa a diferença de tangentes 0{,}47-0{,}176\approx0{,}29 ou outro valor sem multiplicar por 6, resultado sem sentido para a altura.
BÉ a altura inicial (1,056 m), não a elevação.
DÉ a altura final (2,82 m), esquecendo de subtrair a altura anterior.
EUsa y=12 ou soma incorreta; não corresponde à diferença das alturas com y=6.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Porcentagem.

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