Questão 63 da FUVEST 2024

Question

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica

Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

A
26
B
27
C
28
D
29
E
30

Note e adote:
\log_{10} 2 = 0{,}3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 63 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica

Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

A
26
B
27
C
28
D
29
E
30

Note e adote:
\log_{10} 2 = 0{,}3

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Resolução comentada

Em um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa \ell, cada cateto mede \frac{\ell}{\sqrt{2}}. Logo, a cada etapa o lado dos novos quadrados fica multiplicado por \frac{1}{\sqrt{2}}.

Na Etapa 1, o lado é 1 cm. Na Etapa 2, é \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^1. Na Etapa n, os novos quadrados têm lado:

L_n = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1} = 2^{-\frac{n-1}{2}}

Queremos L_n < 10^{-4} (um décimo de milésimo é 0{,}0001).

2^{-\frac{n-1}{2}} < 10^{-4}
Aplicando \log_{10}: -\dfrac{n-1}{2}\cdot 0{,}3 < -4
Multiplicando por -1 (inverte a desigualdade): \dfrac{n-1}{2}\cdot 0{,}3 > 4
n-1 > \dfrac{8}{0{,}3} = 26{,}67
n > 27{,}67

Como n é inteiro, o menor valor é n = 28.

Conferindo: na Etapa 27, n-1=26 e L = 2^{-13}\approx 1{,}2\cdot10^{-4}, ainda maior que 10^{-4}. Na Etapa 28, L = 2^{-13{,}5}\approx 8{,}6\cdot10^{-5}, já menor.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que o expoente na Etapa n é n-1 e arredonda 26{,}67 para 27.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor abaixo do necessário: nessa etapa o lado ainda é bem maior que 10^{-4}.
BUsa n-1>26{,}67 e arredonda para 27 sem somar 1 ao expoente, esquecendo que a Etapa 1 tem expoente 0.
DPassa da primeira etapa em que o lado fica menor que 10^{-4}; a 28 já serve.
EPassa da primeira etapa em que o lado fica menor que 10^{-4}; a 28 já serve.

Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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