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Questão 60 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Sistemas lineares

Considere o sistema linear \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - y = 5 \end{cases}. Assinale a alternativa que representa graficamente esse sistema.

  1. A
    Gráfico em plano cartesiano quadriculado, com eixo horizontal x marcado de −8 a 8 e eixo vertical y marcado de −5 a 5. Duas retas laranjas: uma crescente, que cruza o eixo x próximo de −5 e o eixo y entre 1 e 2; outra decrescente, que cruza o eixo y em 4 e o eixo x em 2. As retas se intersectam próximo de (1, 2).
  2. B
    Gráfico em plano cartesiano quadriculado, com eixo horizontal x marcado de −8 a 8 e eixo vertical y marcado de −5 a 5. Duas retas laranjas: uma decrescente, que cruza o eixo y em 2 e o eixo x em 4; outra crescente, que cruza o eixo y em −5 e o eixo x em 5. As retas se intersectam entre x = 4 e x = 5, um pouco abaixo do eixo x.
  3. C
    Gráfico em plano cartesiano quadriculado, com eixo horizontal x marcado de −8 a 8 e eixo vertical y marcado de −5 a 5. Duas retas laranjas: uma decrescente, que cruza o eixo y em 2 e o eixo x em 2; outra crescente, que cruza o eixo y em −5 e o eixo x em 5. As retas se intersectam aproximadamente em (3,5; −1,5).
  4. D
    Gráfico em plano cartesiano quadriculado, com eixo horizontal x marcado de −8 a 8 e eixo vertical y marcado de −5 a 5. Duas retas laranjas: uma decrescente, que cruza o eixo y em 4 e o eixo x entre 2 e 3; outra crescente, que cruza o eixo y em −5 e o eixo x entre 1 e 2. As retas se intersectam próximo de (2, 1).
  5. E
    Gráfico em plano cartesiano quadriculado, com eixo horizontal x marcado de −8 a 8 e eixo vertical y marcado de −5 a 5. Duas retas laranjas: uma decrescente, que cruza o eixo y em 2 e o eixo x em 4; outra crescente, que cruza o eixo y em −5 e o eixo x entre 1 e 2. As retas se intersectam em (2, 1).
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Resolução comentada

Cada equação do sistema é uma reta, e a solução do sistema é o ponto em que elas se cruzam. Para desenhar cada reta, basta achar onde ela corta os eixos.

Reta 1: x + 2y = 4

  • Com x = 0: 2y = 4, logo y = 2. A reta corta o eixo y em 2.
  • Com y = 0: x = 4. A reta corta o eixo x em 4.
  • Ela é decrescente, pois y = 2 - \frac{x}{2}.

Reta 2: 3x - y = 5

  • Com x = 0: y = -5. A reta corta o eixo y em -5.
  • Com y = 0: x = \frac{5}{3} \approx 1{,}7. A reta corta o eixo x entre 1 e 2.
  • Ela é crescente e bem inclinada, pois y = 3x - 5.

Ponto de interseção:

  1. Da segunda equação, y = 3x - 5.
  2. Substituindo na primeira: x + 2(3x - 5) = 4.
  3. Então 7x - 10 = 4, logo x = 2.
  4. Assim, y = 3\cdot 2 - 5 = 1.

As retas se cruzam em (2, 1).

O gráfico procurado tem uma reta decrescente passando por (0,2) e (4,0), outra crescente passando por (0,-5) e por cerca de (1{,}7;\,0), e cruzamento em (2,1). Isso só ocorre na figura da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: a reta crescente e o ponto (2, 1) estão corretos, mas a reta decrescente está errada, pois troca os interceptos (y em 4 em vez de 2).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAs retas cortam os eixos em pontos que não correspondem às equações (y em 4 e x em 2 não servem para nenhuma delas) e se cruzam perto de (1, 2), não em (2, 1).
  • BA reta crescente corta o eixo x em 5, mas 3x - y = 5 corta o eixo x em 5/3; o cruzamento fica fora de (2, 1).
  • CA reta decrescente corta o eixo x em 2, mas x + 2y = 4 corta em 4, e o cruzamento (3,5; −1,5) não resolve o sistema.
  • DA reta decrescente corta o eixo y em 4 e o eixo x entre 2 e 3, mas x + 2y = 4 corta o eixo y em 2 e o eixo x em 4; só o cruzamento em (2, 1) coincide.

Assuntos: Sistemas lineares, Ponto e reta no plano cartesiano.

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